Cecha X w populacji ma rozkład trzypunktowy:
\(\displaystyle{ P(X=-1)=5.0-p,\space P(X=0)=0.5, \space P(X=1)=p }\). Wyznacz estymator parametru p MNW i MM (metodą momentów).
Metodą momentów zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ \overline {X} = -1\cdot(0,5-p)+0\cdot 0,5+1\cdot p=-0,5+2p \Rightarrow \hat{p}=\frac{2\cdot\overline {X} +1}{4}}\)
To jest dobrze?
I nie mam pojęcia, jak zrobić to MNW. Nie wiem jak zrobić tą podstawę do zlogarytmowania itd.
Będę wdzięczna, za każdą pomoc.
Cecha X w populacji ma rozkład trzypunktowy, rozwiązać MM, MNW.
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 17 paź 2019, o 09:59
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Podziękował: 3 razy
Cecha X w populacji ma rozkład trzypunktowy, rozwiązać MM, MNW.
Ostatnio zmieniony 15 lis 2019, o 20:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Cecha X w populacji ma rozkład trzypunktowy, rozwiązać MM, MNW.
Estymator Metody Momentów jest wyznaczony poprawnie.
Metoda Największej Wiarygodności
Niech \(\displaystyle{ X_{1} , X_{2}, X_{3}, ...,X_{n} }\) będzie \(\displaystyle{ n }\)- elementową próbą rozkładu trzy punktowego.
Funkcja wiarygodności
\(\displaystyle{ L(p) = \left((0,5 -p)\cdot 0,5\cdot p\right)^{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}, \ \ \sum_{i=1}^{n} x_{i} > 0. }\)
Logarytm naturalny funkcji wiarygodności
\(\displaystyle{ \ln(L(p)) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \left [ \ln (0,5 -p) + \ln 0,5 + \ln p\right] , \ \ 0 \leq p < 0,5.}\)
Pochodna I rzędu logarytmu naturalnego funkcji wiarygodności
\(\displaystyle{ [\ln (L(p))]' = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \left[ -\frac{1}{0,5 -p} + \frac{1}{p} \right ] }\)
Szukamy maksimum logarytmu naturalnego funkcji wiarygodności
\(\displaystyle{ [\ln (L(p))]' = 0 \leftrightarrow \sum_{i=1}^{n} x_{i} \left [ -\frac{1}{0,5 - p} + \frac{1}{p}\right] =0 \leftrightarrow -\frac{1}{0,5 -p} + \frac{1}{p} = 0 \leftrightarrow p = \frac{1}{4}.}\)
Sprawdzenie
\(\displaystyle{ [\ln (L(p))]^{''} = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \left [ \frac{1}{(0,5 -p)^2} - \frac{1}{p^2} \right] }\)
\(\displaystyle{ [\ln (L(1/4))]^{''} =\sum_{i=1}^{n} x_{i} [ 4 - 16] = -12 \sum_{i=1}^{n} x_{i} < 0 }\)
Estymator \(\displaystyle{ \hat{X} = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{n} X_{i} = \frac{n}{4} \overline{X} }\) jest EMNW rozkładu trójkątnego.
Dodano po 48 minutach 32 sekundach:
Oczywiście chodzi o estymator parametru \(\displaystyle{ p }\):
\(\displaystyle{ \hat{\theta} = \hat{X}(p) = \hat{p} = \frac{n}{4} \overline{X}.}\)
Dodano po 11 godzinach 59 minutach 56 sekundach:
Podstawiając, wartość parametru \(\displaystyle{ p^{*} = 0,25 }\) do danego rozkładu trójkątnego otrzymujemy rozkład symetryczny rozkład trzypunktowy zmiennej losowej:
\(\displaystyle{ X^{*}: \ \ P(\{X =-1 \}) = 0,5 - p = 0,25, \ \ P(\{X = 0\}) = 0,5 \ \ P(\{X =1\}) = 0,25. }\)
Metoda Największej Wiarygodności
Niech \(\displaystyle{ X_{1} , X_{2}, X_{3}, ...,X_{n} }\) będzie \(\displaystyle{ n }\)- elementową próbą rozkładu trzy punktowego.
Funkcja wiarygodności
\(\displaystyle{ L(p) = \left((0,5 -p)\cdot 0,5\cdot p\right)^{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}, \ \ \sum_{i=1}^{n} x_{i} > 0. }\)
Logarytm naturalny funkcji wiarygodności
\(\displaystyle{ \ln(L(p)) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \left [ \ln (0,5 -p) + \ln 0,5 + \ln p\right] , \ \ 0 \leq p < 0,5.}\)
Pochodna I rzędu logarytmu naturalnego funkcji wiarygodności
\(\displaystyle{ [\ln (L(p))]' = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \left[ -\frac{1}{0,5 -p} + \frac{1}{p} \right ] }\)
Szukamy maksimum logarytmu naturalnego funkcji wiarygodności
\(\displaystyle{ [\ln (L(p))]' = 0 \leftrightarrow \sum_{i=1}^{n} x_{i} \left [ -\frac{1}{0,5 - p} + \frac{1}{p}\right] =0 \leftrightarrow -\frac{1}{0,5 -p} + \frac{1}{p} = 0 \leftrightarrow p = \frac{1}{4}.}\)
Sprawdzenie
\(\displaystyle{ [\ln (L(p))]^{''} = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \left [ \frac{1}{(0,5 -p)^2} - \frac{1}{p^2} \right] }\)
\(\displaystyle{ [\ln (L(1/4))]^{''} =\sum_{i=1}^{n} x_{i} [ 4 - 16] = -12 \sum_{i=1}^{n} x_{i} < 0 }\)
Estymator \(\displaystyle{ \hat{X} = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{n} X_{i} = \frac{n}{4} \overline{X} }\) jest EMNW rozkładu trójkątnego.
Dodano po 48 minutach 32 sekundach:
Oczywiście chodzi o estymator parametru \(\displaystyle{ p }\):
\(\displaystyle{ \hat{\theta} = \hat{X}(p) = \hat{p} = \frac{n}{4} \overline{X}.}\)
Dodano po 11 godzinach 59 minutach 56 sekundach:
Podstawiając, wartość parametru \(\displaystyle{ p^{*} = 0,25 }\) do danego rozkładu trójkątnego otrzymujemy rozkład symetryczny rozkład trzypunktowy zmiennej losowej:
\(\displaystyle{ X^{*}: \ \ P(\{X =-1 \}) = 0,5 - p = 0,25, \ \ P(\{X = 0\}) = 0,5 \ \ P(\{X =1\}) = 0,25. }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 17 paź 2019, o 09:59
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Podziękował: 3 razy
Re: Cecha X w populacji ma rozkład trzypunktowy, rozwiązać MM, MNW.
Bardzo dziękuję. Teraz wszystko jest jasne.