Cecha X w populacji ma rozkład trzypunktowy, rozwiązać MM, MNW.

[veern]

Cecha X w populacji ma rozkład trzypunktowy:
\(\displaystyle{ P(X=-1)=5.0-p,\space P(X=0)=0.5, \space P(X=1)=p }\). Wyznacz estymator parametru p MNW i MM (metodą momentów).
Metodą momentów zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ \overline {X} = -1\cdot(0,5-p)+0\cdot 0,5+1\cdot p=-0,5+2p \Rightarrow \hat{p}=\frac{2\cdot\overline {X} +1}{4}}\)
To jest dobrze?
I nie mam pojęcia, jak zrobić to MNW. Nie wiem jak zrobić tą podstawę do zlogarytmowania itd.
Będę wdzięczna, za każdą pomoc.

[janusz47]

Estymator Metody Momentów jest wyznaczony poprawnie.

Metoda Największej Wiarygodności

Niech \(\displaystyle{ X_{1} , X_{2}, X_{3}, ...,X_{n} }\) będzie \(\displaystyle{ n }\)- elementową próbą rozkładu trzy punktowego.

Funkcja wiarygodności

\(\displaystyle{ L(p) = \left((0,5 -p)\cdot 0,5\cdot p\right)^{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}, \ \ \sum_{i=1}^{n} x_{i} > 0. }\)

Logarytm naturalny funkcji wiarygodności

\(\displaystyle{ \ln(L(p)) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \left [ \ln (0,5 -p) + \ln 0,5 + \ln p\right] , \ \ 0 \leq p < 0,5.}\)


Pochodna I rzędu logarytmu naturalnego funkcji wiarygodności

\(\displaystyle{ [\ln (L(p))]' = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \left[ -\frac{1}{0,5 -p} + \frac{1}{p} \right ] }\)

Szukamy maksimum logarytmu naturalnego funkcji wiarygodności

\(\displaystyle{ [\ln (L(p))]' = 0 \leftrightarrow \sum_{i=1}^{n} x_{i} \left [ -\frac{1}{0,5 - p} + \frac{1}{p}\right] =0 \leftrightarrow -\frac{1}{0,5 -p} + \frac{1}{p} = 0 \leftrightarrow p = \frac{1}{4}.}\)

Sprawdzenie

\(\displaystyle{ [\ln (L(p))]^{''} = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \left [ \frac{1}{(0,5 -p)^2} - \frac{1}{p^2} \right] }\)

\(\displaystyle{ [\ln (L(1/4))]^{''} =\sum_{i=1}^{n} x_{i} [ 4 - 16] = -12 \sum_{i=1}^{n} x_{i} < 0 }\)

Estymator \(\displaystyle{ \hat{X} = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{n} X_{i} = \frac{n}{4} \overline{X} }\) jest EMNW rozkładu trójkątnego.

Dodano po 48 minutach 32 sekundach:
Oczywiście chodzi o estymator parametru \(\displaystyle{ p }\):

\(\displaystyle{ \hat{\theta} = \hat{X}(p) = \hat{p} = \frac{n}{4} \overline{X}.}\)

Dodano po 11 godzinach 59 minutach 56 sekundach:
Podstawiając, wartość parametru \(\displaystyle{ p^{*} = 0,25 }\) do danego rozkładu trójkątnego otrzymujemy rozkład symetryczny rozkład trzypunktowy zmiennej losowej:

\(\displaystyle{ X^{*}: \ \ P(\{X =-1 \}) = 0,5 - p = 0,25, \ \ P(\{X = 0\}) = 0,5 \ \ P(\{X =1\}) = 0,25. }\)

[veern]

Bardzo dziękuję. Teraz wszystko jest jasne.