Estymacja parametrów w regresji liniowej

[Zetorq]

Ktoś potrafi pomóc w rozwiązaniu poniższego zadania?

Rozpatrzmy zagadnienie regresji liniowej \(\displaystyle{ Y_i=\alpha + \beta X_i+U_i,}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,3,...,n}\), gdzie \(\displaystyle{ U_i}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero i skończonej wariancji \(\displaystyle{ \sigma^2}\). Niech \(\displaystyle{ \hat{\alpha}}\) i \(\displaystyle{ \hat{\beta}}\) będą estymatorami, wyznaczonymi metodą najmniejszy kwadratów, odpowiednio dla \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\). Korzystając faktu, że \(\displaystyle{ \hat{\beta}}\) jest nieobciążonym estymatorem parametru \(\displaystyle{ \beta}\) wykaż, że \(\displaystyle{ \hat{\alpha}}\) jest nieobciążonym estymatorem dla \(\displaystyle{ \alpha}\).

Z góry dziękuję.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \hat{\alpha} = \hat{Y} - \hat{\beta}X - U}\)

Z własności wartości średniej i założeń wynikających z treści zadania

\(\displaystyle{ E(\hat{\alpha}) = E(\hat{Y}) - \beta \overline{X} - 0 = E(\hat{Y}) -\beta \overline{X} \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ \overline{Y} = \alpha + \beta \overline{X} +U}\)

\(\displaystyle{ E(\overline{Y}) = \alpha + \beta \overline{X} \ \ (2)}\)

Z równań \(\displaystyle{ (2)}\) i \(\displaystyle{ (1)}\)

\(\displaystyle{ E(\hat{\alpha}) = \alpha + \beta \overline{X} - \beta \overline{X} = \alpha}\)

co mieliśmy wykazać.

[Zetorq]

Skąd to masz? Korzystasz tego w pierwszym kroku.

\(\displaystyle{ E(\hat{\beta}X)=\beta \overline{X}}\) Nie powinno być \(\displaystyle{ E(\hat{\beta}X)=\hat\beta \overline{X}}\)?

[janusz47]

Z treści zadania \(\displaystyle{ E(\hat{\beta}) = \beta}\) - parametr \(\displaystyle{ \hat{\beta}}\) jest estymatorem nieobciążonym \(\displaystyle{ \beta.}\)

[Zetorq]

\(\displaystyle{ E(\hat{\beta}X)=\hat\beta \overline{X}}\). My tutaj nie traktujemy \(\displaystyle{ \hat\beta}\) jako stałej i wtedy wyjmujemy przed wartość oczekiwaną?

[janusz47]

Tu nie chodzi o stałą tylko o wcześniejsze złożenie że \(\displaystyle{ \hat{\beta}}\) jest estymatorem nieobciążonym parametru \(\displaystyle{ \beta}\) i z własności iloczynu wartości średniej.

[Zetorq]

Ok wielkie dzięki wielkie za cierpliwość.