Minimalny rozmiar próby dla zadanego błędu i prawd.

[Mervius]

Witam, mam do zrobienia zadanie o następującej treści:

Z populacji złożonej z N jednostek losowana jest próba (wg. schematu losowania prostego ze zwracaniem) rozmiaru n. Wyznaczyć minimalny rozmiar próby gwarantujący z dużym prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \delta}\) popełnienie błędu szacunku nie większego niż \(\displaystyle{ \xi}\).

Robiłem to w ten sposób:
\(\displaystyle{ P\left\{ |\overline{y} -\overline{Y}| \le \xi \right\} \ge \delta}\)

zakładając, że N i n będą "duże", skorzystałem z CTG.

y ma w przybliżeniu rozkład \(\displaystyle{ N\left( \overline{Y}, \frac{N - 1}{N} \frac{ S^{2} }{n} \right)}\)
jako, że estymator wariancji w losowaniu prostym ze zwracaniem wynosi:
\(\displaystyle{ D^2\overline{y} = \frac{N-1}{N}\frac{S^2}{n}}\)

No i przekształcając to, doszedłem do momentu, w którym:
\(\displaystyle{ \Phi\left( \frac{\xi}{ \sqrt{\frac{N-1}{N}\frac{S^2}{n}} }\right) \ge \frac{\delta + 1}{2}}\)

I teraz nie wiem jak z tego wyjąć "środek", żeby móc wyliczyć sobie n.
Czy mógłbym ktoś z forumowiczów podpowiedzieć jaki krok dalej podjąć?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \Phi\left( \frac{\xi}{ \sqrt{\frac{N-1}{N}\frac{S^2}{n}} }\right) \ge \Phi^{-1}\left( \frac{\delta + 1}{2}\right)}\)

Musimy odczytać wartość kwantyla \(\displaystyle{ \Phi^{-1}.}\)

[Mervius]

Czyli rozumiem, że jeżeli kwantyl:
\(\displaystyle{ \Phi^{-1} \left( \frac{\delta+1}{2}\right)}\) oznaczę sobie jako załóżmy \(\displaystyle{ u}\).
To dalej po prostu rozwiązuję nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{\xi}{ \sqrt{\frac{N-1}{N}\frac{S^2}{n}} }\right) \ge u}\).

Dziękuję za pomoc

[janusz47]

Tak.