rozkład zmiennej Z=XY
: 5 cze 2019, o 17:13
Cześć,
mam problem z wyznaczeniem rozkładu (gęstości łącznej) zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=XY}\), przy znanych rozkładach \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\). W poleceniu są podane ich gęstości (oba z rozkładu Cauchy'ego i niezależne), ale chciałbym poznać sposób na wyprowadzenie tego rozkładu.
Myślałem, żeby to zrobić poprzez logarytmy tzn.:
\(\displaystyle{ P(Z<x) = P(XY<x) = P(\ln (XY)<x) = P(\ln X + \ln Y<x)}\),
a następnie policzyć rozkłady \(\displaystyle{ \ln X,\; \ln Y}\) i wtedy użyć splotu, ale wydaje się to trochę skomplikowane i też nie jestem pewien początku - nakładania logarytmu i działania na jednej zmiennej \(\displaystyle{ x.}\)
-- 5 cze 2019, o 22:39 --
Jaka jest definicja splotu?
Załóżmy, że mam 2 funkcję \(\displaystyle{ f (x)}\) i \(\displaystyle{ g(y)}\).
Dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = X+Y}\) mamy:
\(\displaystyle{ h(z) = \int_{R} f(x)g(z-x) \mbox{d}x}\),
Czy to, że w \(\displaystyle{ h}\) w \(\displaystyle{ g}\) mamy minus, pochodzi od przekształcenia
\(\displaystyle{ Z=X+Y \Rightarrow Y=Z-X}\)?
Idąc tym tokiem myślenia, czy mając \(\displaystyle{ Z = XY}\) splot by miał postać:
\(\displaystyle{ h(z) = \int_{R} f(x)g\left(\tfrac{z}{x}\right) \mbox{d}x}\)?
mam problem z wyznaczeniem rozkładu (gęstości łącznej) zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=XY}\), przy znanych rozkładach \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\). W poleceniu są podane ich gęstości (oba z rozkładu Cauchy'ego i niezależne), ale chciałbym poznać sposób na wyprowadzenie tego rozkładu.
Myślałem, żeby to zrobić poprzez logarytmy tzn.:
\(\displaystyle{ P(Z<x) = P(XY<x) = P(\ln (XY)<x) = P(\ln X + \ln Y<x)}\),
a następnie policzyć rozkłady \(\displaystyle{ \ln X,\; \ln Y}\) i wtedy użyć splotu, ale wydaje się to trochę skomplikowane i też nie jestem pewien początku - nakładania logarytmu i działania na jednej zmiennej \(\displaystyle{ x.}\)
-- 5 cze 2019, o 22:39 --
Jaka jest definicja splotu?
Załóżmy, że mam 2 funkcję \(\displaystyle{ f (x)}\) i \(\displaystyle{ g(y)}\).
Dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = X+Y}\) mamy:
\(\displaystyle{ h(z) = \int_{R} f(x)g(z-x) \mbox{d}x}\),
Czy to, że w \(\displaystyle{ h}\) w \(\displaystyle{ g}\) mamy minus, pochodzi od przekształcenia
\(\displaystyle{ Z=X+Y \Rightarrow Y=Z-X}\)?
Idąc tym tokiem myślenia, czy mając \(\displaystyle{ Z = XY}\) splot by miał postać:
\(\displaystyle{ h(z) = \int_{R} f(x)g\left(\tfrac{z}{x}\right) \mbox{d}x}\)?