rozkład zmiennej Z=XY

[miszazdr]

Cześć,
mam problem z wyznaczeniem rozkładu (gęstości łącznej) zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=XY}\), przy znanych rozkładach \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\). W poleceniu są podane ich gęstości (oba z rozkładu Cauchy'ego i niezależne), ale chciałbym poznać sposób na wyprowadzenie tego rozkładu.

Myślałem, żeby to zrobić poprzez logarytmy tzn.:
\(\displaystyle{ P(Z<x) = P(XY<x) = P(\ln (XY)<x) = P(\ln X + \ln Y<x)}\),
a następnie policzyć rozkłady \(\displaystyle{ \ln X,\; \ln Y}\) i wtedy użyć splotu, ale wydaje się to trochę skomplikowane i też nie jestem pewien początku - nakładania logarytmu i działania na jednej zmiennej \(\displaystyle{ x.}\)

-- 5 cze 2019, o 22:39 --

Jaka jest definicja splotu?
Załóżmy, że mam 2 funkcję \(\displaystyle{ f (x)}\) i \(\displaystyle{ g(y)}\).
Dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = X+Y}\) mamy:
\(\displaystyle{ h(z) = \int_{R} f(x)g(z-x) \mbox{d}x}\),
Czy to, że w \(\displaystyle{ h}\) w \(\displaystyle{ g}\) mamy minus, pochodzi od przekształcenia
\(\displaystyle{ Z=X+Y \Rightarrow Y=Z-X}\)?
Idąc tym tokiem myślenia, czy mając \(\displaystyle{ Z = XY}\) splot by miał postać:
\(\displaystyle{ h(z) = \int_{R} f(x)g\left(\tfrac{z}{x}\right) \mbox{d}x}\)?

[janusz47]

Niech zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y}\) będą niezależne o gęstościach odpowiednio \(\displaystyle{ f_{X}(\cdot), f_{Y}(\cdot ).}\)

Znajdziemy gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = X\cdot Y.}\)

Korzystając z niezależności zmiennych losowych, znajdujemy gęstość łączną

\(\displaystyle{ f_{(X,Y)} (x,y) = f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\in \RR^2.}\)

Przyjmujemy \(\displaystyle{ \phi: \RR^2 \rightarrow \RR^1, \ \ \phi(x,y) = x\cdot y}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\in \RR^2}\)

\(\displaystyle{ F_{Z}(z) = Pr(\{ X\cdot Y < z\}) =\iint_{\{(x,y):xy<z\}}f(x,y) dx dy}\)

Rozkładamy całkę podwójną na sumę całek

\(\displaystyle{ F_{Z}(z) = \iint_{\{(x,y):x<0 \wedge xy<z\}}f(x,y) dx dy +\iint_{\{(x,y):x>0 \wedge xy<z\}}f(x,y) dx dy.}\)

Każdą z tych całek obliczamy oddzielnie, stosując to samo podstawienie

\(\displaystyle{ \xi :\RR^2 \rightarrow \RR^2, \ \ \xi(x,y) = ( x, x\cdot y).}\)

Jakobian odwzorowania \(\displaystyle{ \xi}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{x}.}\)

\(\displaystyle{ F_{Z}(z) = \iint_{\{(u,v): u<0,v<z\}}f_{(X,Y)} \left( u, \frac{u}{v}\right)\frac{1}{|u|}du dv +\iint_{\{(u,v): u>0,v<z\}}f_{(X,Y)} \left( u, \frac{u}{v}\right)\frac{1}{u}du dv =\\ = \int_{-\infty}^{z}dv \int_{-\infty}^{\infty}f_{(X,Y)}\left(u, \frac{v}{u}\right) \frac{1}{|u|}du.}\)

Gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\) znajdujemy poprzez różniczkowanie dystrybuanty \(\displaystyle{ F_{Z}(\cdot)}\) w punktach, w których ta pochodna istnieje

\(\displaystyle{ f_{Z}(z) = F'_{|z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|u|} f_{X}(u)f_{Y}\left(\frac{z}{u}\right) du \ \ (1)}\)

Proszę podstawić do \(\displaystyle{ (1)}\) gęstości zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y}\) o rozkładzie Cauchy i obliczyć całkę.