Parametryczne testy istotności

[Kaffoux]

Treść zadania:
Biometryczny system weryfikacji mówców identyfikuje płeć rozmówcy na podstawie częstotliwości podstawowej sygnału akustycznego głosu. Dokonano pomiaru wartości tej częstotliwości dla 10 próbek nagrań głosu dla każdego z 2 mówców, uzyskując następujące parametry:
Osoba 1 -> \(\displaystyle{ X_1srednia = 150 Hz}\)
Osoba 2 -> \(\displaystyle{ X_2srednia = 180 Hz}\)
Wiedząc, że średnia częstotliowść podstatowa dla mężczyzn wynosi \(\displaystyle{ m_o = 130 Hz}\) z odchyleniem standardowym \(\displaystyle{ \sigma = 16 Hz}\), a dla kobiet jest wyższa, na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha = 0,02}\) zweryfikować hipotezy zerowe mówiące o tym, że obydwaj mówcy są mężczyznami.

Proszę o wskazówkę dotyczącą odpowiedniego wzoru, którego powinnam użyć w tym zadaniu.

[janusz47]

Parametryczny test istotności dla dwóch średnich

Hipotezy:

\(\displaystyle{ H_{0}: m_{1}=m_{2} = m_{0}}\)

\(\displaystyle{ H_{1}: m_{1} \neq m_{2}}\)

Statystyka testowa

\(\displaystyle{ T = \frac{\overline{X}_{2} - \overline{X}_{1}}{\sqrt{\frac{n_{1}\sigma_{1}^2+n_{2}\sigma_{2}^2}{n_{1}+n_{2}-2}\left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}\right)}}}\)

Proszę

- obliczyć wartość statystyki testowej \(\displaystyle{ t}\) dla \(\displaystyle{ \sigma_{1}^2=\sigma_{2}^2=16^2 Hz,}\)

-porównać tę wartość z wartością krytyczną testu, uzyskaną z tablicy rozkładu Studenta, to jest wartością kwantyla rzędu \(\displaystyle{ \alpha = 0,02}\) o \(\displaystyle{ n_{1}+n_{2}- 2 = 10 +10 - 2 =18}\)
- osiemnastoma stopniami swobody - \(\displaystyle{ t_{(0,02, 18)},}\)

- podjąć decyzję o przyjęciu bądź odrzuceniu hipotezy \(\displaystyle{ H_{0}.}\)

[Kaffoux]

Nie jestem pewna wyboru statystyki.

W notatkach z ćwiczeń znalazłam taki wzór:

\(\displaystyle{ t = \frac{X_1 - X_2}{\sqrt{\frac{n_1\cdot S_1^2 + n_2 \cdot S_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \cdot \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right) }}}\)

Według notatek, powinnam korzystać z tego wzoru przy nieznanych odchyleniach standardowych dwóch populacji i kiedy \(\displaystyle{ n_1, n_2 < 120}\)

Ten wzór jest bardzo podobny do użytego w zaprezentowanym schemacie rozwiązania. Różni się użytymi odchyleniami. Dlaczego ten wzór został zmodyfikowany? I w jakich przypadkach możemy tak robić?

[janusz47]

Uwzględniamy i tak wartość bezwzględną \(\displaystyle{ |t|,}\) więc możemy przyjąć wzór Pani.

\(\displaystyle{ T = \frac{X_1 - X_2}{\sqrt{\frac{n_1\cdot S_1^2 + n_2 \cdot S_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \cdot \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right) }}}\)

Literkę \(\displaystyle{ t}\) małą używamy po podstawieniu wartości liczbowych do wzoru na \(\displaystyle{ T.}\)