Estymator największej wiarogodności

[xyz111]

Mam podane 50 długości drogi hamowania samochodów (różne liczby liczby od 17 do 19) mam wyznaczyć estymator największej wiarygodności prawdopodobieństwa tego, że długość drogi hamowania przekroczy \(\displaystyle{ 18,6}\). Wiem, że ma to rozkład normalny jednak nie wiem jak sobie poradzić z tym prawdopodobieństwem. Proszę o pomoc

[Janusz Tracz]

O ile dobrze Cię rozumiem to masz podane pewne odległości dróg hamowania \(\displaystyle{ x_i}\) znajdujące się w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 17,19\right]}\) uznając, że jest to realizacja pewnej zmiennej losowej o rozkładnie normalnym (co wynika z treści) można moim zdaniem napisać funkcję gęstości ów rozkładu. Standardowo

\(\displaystyle{ f(x,m,\sigma^2)= \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp \left( -\frac{\left( x-m\right)^2 }{2\sigma^2} \right)}\)

przy czym estymator największej wiarygodności ma postać

\(\displaystyle{ m= \text{średnia wartość }\left(x_i\right)}\)

\(\displaystyle{ \sigma^2= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left( x_i-m\right)^2}\)

Gdzie \(\displaystyle{ N}\) to ilość pomiarów. Wartości tych estymatorów możesz jawnie policzyć masz zatem funkcję gęstości. Gdy znamy gęstość prawdopodobieństwo iż długość hamowania nie przekroczy \(\displaystyle{ 18,6}\) wynosi:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( x \le 18,6\right)= \int_{- \infty }^{18,6}f(x,m,\sigma^2) \mbox{d}x}\)

co w tym przypadku skończy się całką do policzenia numerycznie lub odczytaniu wyniku z tablic po wcześniejszej normalizacji rozkładu.

[xyz111]

Z wyliczenia tej całki wyszło mi :\(\displaystyle{ \frac{-18.6+\mu}{2 \sigma^{3} \sqrt{2\pi} }e ^{ \frac{(18.6-\mu) ^{2} }{2\sigma ^{2} } }}\) Ale średnio wiem co dalej

[Janusz Tracz]

Z wyliczenia tej całki wyszło mi :\(\displaystyle{ \frac{-18.6+\mu}{2 \sigma^{3} \sqrt{2\pi} }e ^{ \frac{(18.6-\mu) ^{2} }{2\sigma ^{2} } }}\)

Chwila chwila póki co to jeszcze żadnej całki nie liczysz. Na razie określ wartość \(\displaystyle{ \mu}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma^2}\) zgodnie z wzorami które Ci wypisałem. To Ty znacz konkretne wartości \(\displaystyle{ x_i}\) policz ich wartość oczekiwaną czyli \(\displaystyle{ \mu}\) za pomocą średniej oraz \(\displaystyle{ \sigma^2}\) za pomocą tego drugiego wzoru. Jak to zrobisz to dopiero wtedy będziesz mogła jawnie napisać funkcję gęstości dla tego konkretnego przypadku. Mając to zrobione będzie można policzyć całkę, choć i od tego można uciec korzystając z zależności

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( x \le x_0\right)=\Phi\left( \frac{x_0-\mu}{\sigma} \right)}\)

wtedy nawet funkcja gęstości nie jest potrzebna. Wystarczy tylko policzyć estymatory.

[xyz111]

Tzn że jeśli do tej wyliczonej przeze mnie całki wstawię za \(\displaystyle{ \mu, \sigma^{2}}\) te obliczone ich wartości to to będzie już koniec zadania?

[Janusz Tracz]

Nie. Ponieważ:

Całka jest policzona źle. Nie wiem czym jest to co napisałaś, bo nie pokazujesz obliczeń, ale na pewno nie wynikiem tej całki. Całkę tą można jedynie liczyć numerycznie dlatego żeby w ogólne zacząć obliczenia za pomocą całki to musisz już wcześniej mieć \(\displaystyle{ \mu, \sigma^{2}}\) które wstawiasz i jedynie przybliżasz numerycznie wartość ów całki.

Gdy masz policzone \(\displaystyle{ \mu, \sigma^{2}}\) to możesz je wstawić tu:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( x \le 18,6\right)= \int_{- \infty }^{18,6}f(x,m,\sigma^2) \mbox{d}x}\)

Ale nie tu:

\(\displaystyle{ \frac{-18.6+\mu}{2 \sigma^{3} \sqrt{2\pi} }e ^{ \frac{(18.6-\mu) ^{2} }{2\sigma ^{2} } }}\)

bo to jest źle.

Choć wygodniej jest jak już mówiłem uciec od problemów związanych z obliczeniami całki oraz wyznaczaniem konkretnie gęstości i zastosować związek prawdopodobieństwa z dystrybuantą:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( x \le x_0\right)=\Phi\left( \frac{x_0-\mu}{\sigma} \right)}\)

Co w tym przypadku sprowadzi się do wstawiana \(\displaystyle{ \mu, \sigma^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x_0=18,6}\) czyli

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( x \le 18,6\right)=\Phi\left( \frac{18,6-{\red{\mu}}}{{\red{\sigma}}} \right)}\)

Kod: Zaznacz cały

https://www.statystyka-zadania.pl/tablica-rozkladu-normalnego/

\(\displaystyle{ \Phi}\)

[xyz111]

Już rozumiem, dziękuję. Jeszcze tylko skoro liczymy estymator tego że ta długość przekroczy \(\displaystyle{ 18,6}\) to na końcu jako wynik musimy napisać \(\displaystyle{ 1-\Phi( \frac{18,6-\mu}{\sigma})}\) wystawiając już tam te obliczone wartości. Prawda?

[Janusz Tracz]

liczymy estymator tego że ta długość przekroczy \(\displaystyle{ 18,6}\)

Nie liczymy estymatora mówiącego, że coś się stanie bądź nie. Estymator jest zależny jedynie od wartości \(\displaystyle{ x_i}\) a nie od tego jakie prawdopodobieństwo zdarzania rozpatrujemy ale to szczegół odnośnie terminologii, poza tym jest ok. Faktem jest jednak, że trzeba policzyć ostatecznie \(\displaystyle{ 1-\Phi \left( \frac{18,6-\mu}{\sigma}\right)}\) co będzie wartością prawdopodobieństwa, że hamowanie będzie dłuższe niż \(\displaystyle{ 18,6}\) na początku źle przeczytałem i myślałem, że mowa o drodze krótszej niż \(\displaystyle{ 18,6}\) ale sama zauważyłaś mój błąd, przepraszam.