Cześć, zmagam się z takim zadaniem:
Udowodnij, że jeżeli U jest zmienną losową z rozkładu \(\displaystyle{ U(0,1)}\), to zmienna losowa z rozkładu \(\displaystyle{ V = U^n}\) ma rozkład \(\displaystyle{ B(1/n,1)}\).
Zaczynałem w ten sposób:
\(\displaystyle{ F_{V}(v) = P(V \le v) = P(U^n \le v) =^{*} P(U \le v^{1/n})}\), wiemy, że U jest z rozkładu (0,1). Jak to dalej pociągnąć? Czy ostatnia zapisana przeze mnie równość (*) jest prawdziwa?
Dowód - rozkład zmiennej losowej
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 2 paź 2017, o 10:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 6 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Dowód - rozkład zmiennej losowej
Skoro \(\displaystyle{ U}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ (0,1)}\), to dla dowolnego \(\displaystyle{ v\in (0,1)}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(U\le v^{\frac 1 n})=v^{\frac 1 n}}\)
Zróżniczkuj to względem \(\displaystyle{ v}\) i masz gęstość. Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)}\) dla odpowiednich \(\displaystyle{ z}\) i dzięki temu
\(\displaystyle{ \frac 1 n= \frac{\Gamma\left( 1+\frac 1 n\right) }{\Gamma\left( \frac 1 n\right)\Gamma\left( 1\right) }}\)
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(U\le v^{\frac 1 n})=v^{\frac 1 n}}\)
Zróżniczkuj to względem \(\displaystyle{ v}\) i masz gęstość. Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)}\) dla odpowiednich \(\displaystyle{ z}\) i dzięki temu
\(\displaystyle{ \frac 1 n= \frac{\Gamma\left( 1+\frac 1 n\right) }{\Gamma\left( \frac 1 n\right)\Gamma\left( 1\right) }}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 2 paź 2017, o 10:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 6 razy
Re: Dowód - rozkład zmiennej losowej
Czy jest szansa abyś wytłumaczył dlaczego konkretnie to prawdopodobieństwo jest równe \(\displaystyle{ v^{\frac 1 n}}\)? Nie mogę zrozumieć tego przejścia, poza tym, każdy następny krok rozumiem.Premislav pisze:Skoro \(\displaystyle{ U}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ (0,1)}\), to dla dowolnego \(\displaystyle{ v\in (0,1)}\) mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(U\le v^{\frac 1 n})=v^{\frac 1 n}}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Dowód - rozkład zmiennej losowej
To jest kwestia tego, jaka jest dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\). Jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ U}\) ma rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ (0,1)}\), to
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(U\le u)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } u\le 0 \\ u \text{ gdy }u\in (0,1)\\ 1\text{ gdy } u\ge 1 \end{cases}}\)
No i jeśli \(\displaystyle{ v\in (0,1)}\), to dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) mamy też \(\displaystyle{ v^{\frac 1 n}\in(0,1)}\).
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(U\le u)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } u\le 0 \\ u \text{ gdy }u\in (0,1)\\ 1\text{ gdy } u\ge 1 \end{cases}}\)
No i jeśli \(\displaystyle{ v\in (0,1)}\), to dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) mamy też \(\displaystyle{ v^{\frac 1 n}\in(0,1)}\).