Prawdopodobieństwo zmiennej losowej ciągłej

[kylercopeland]

Krótkie pytanie:
Mam zmienną losową ciągłą i potrzebuje obliczyć \(\displaystyle{ P(0<X \le 0,8)}\). Czy oba sposoby są poprawne?

1)\(\displaystyle{ F(0,8)-F(0)}\)

2)\(\displaystyle{ \int_{0}^{0,8}f(x)dx}\)

Nie jestem co do nich pewien, bo \(\displaystyle{ 0 < X}\) a nie \(\displaystyle{ 0 \le X}\), chociaż zdaje się że to to samo korzystając z:

\(\displaystyle{ P(X=a)=0}\)

[janusz47]

Jakie są definicje zmiennej losowej ciągłej i dyskretnej?

[kylercopeland]

Jeżeli zbiór wartości, jakie przyjmuje funkcja \(\displaystyle{ X}\), jest zbiorem policzalnym, wtedy zmienną losową nazywamy zmienną losową dyskretną lub skokową.

Natomiast jeśli funkcja \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartości z pewnego przedziału liczbowego, nazywamy ją zmienną losową ciągłą.

[janusz47]

Mamy dwa sposoby obliczenia prawdopodobieństw zmiennej losowej \(\displaystyle{ X.}\)

I. Wartością "skoku" jej dystrybuanty.
II. Całką z funkcji jej gęstości.

Jeśli funkcja \(\displaystyle{ F}\) jest dystrybuantą zmiennej losowej \(\displaystyle{ X,}\) to

\(\displaystyle{ Pr(\{ a\leq X <b\} ) = F(b) - F(a), \ \ a<b}\)

\(\displaystyle{ Pr( \{X = a\}) = F(a+0) - F(a)}\)

Jeśli \(\displaystyle{ F}\) jest punktem ciągłości dystrybuanty, to z ostatniej równości wynika, że \(\displaystyle{ Pr(\{X=a\})= 0.}\)

[kylercopeland]

Zapytam inaczej.

Czy w przypadku zmiennej losowej ciągłej \(\displaystyle{ P(0 < X \le 0,8)}\) to zawsze to samo co \(\displaystyle{ P(0 \le X \le 0,8)}\) i to samo co \(\displaystyle{ P(0 \le X < 0,8)}\)?

[janusz47]

To samo we wszystkich przypadkach.