Zważono 10 paczek

[max123321]

Zważono \(\displaystyle{ 10}\) paczek białego sera i otrzymano następujące wyniki: \(\displaystyle{ 195,198,201,191,202,194,196,198,197,198}\). Zakładamy, że jest to próbka losowa z rozkładu normalnego o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ u}\) i wariancji \(\displaystyle{ \sigma^2}\) z nieznanymi parametrami \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ \sigma^2}\). Przeprowadź test hipotezy \(\displaystyle{ u=200}\) przeciw alternatywie \(\displaystyle{ u<200}\) na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha=0.05}\). Kwantyl rozkładu t-Studenta \(\displaystyle{ t_{0.95,9}=1,83}\)

Jak to zrobić? Jakie kroki należy podjąć?

[Premislav]

Test Studenta, standard.

[max123321]

Dobrze, trochę się dokształciłem, więc robię tak:
Obieram model numer 2, kiedy parametry \(\displaystyle{ u,\sigma^2}\) są nieznane.
Zbiór krytyczny będzie postaci \(\displaystyle{ W=(-\infty,-t(1-\alpha,n-1))}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha=0,05}\) i \(\displaystyle{ n=10}\). Czyli otrzymujemy \(\displaystyle{ W=(-\infty,-t(0,95,9))=W=(-\infty,-1,83)}\). Teraz liczymy statystykę daną wzorem \(\displaystyle{ T= \frac{\overline{X}_n-u_0}{S_n} \sqrt{n-1}}\). Liczę średnią \(\displaystyle{ \overline{X}_n=197}\). Liczę wariancję \(\displaystyle{ S_n^2= \frac{1}{10}(4+1+16+36+25+9+1+1+1)=9,4}\). Podstawiając to wszystko do wzoru otrzymuję \(\displaystyle{ T=-8,81}\) i ta wartość zawiera się w zbiorze krytycznym zatem powinniśmy odrzucić hipotezę zerową.

Czy tak jest dobrze?

[Premislav]

Idea rozwiązania jest poprawna (choć u mnie było \(\displaystyle{ S_n^2}\) z \(\displaystyle{ n-1}\), ale za to mnożyło się przez \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\), więc na jedno wychodzi), natomiast jak na moje oko wychodzi inna wartość statystyki testowej.

[max123321]

No to jeszcze raz:
\(\displaystyle{ \overline{X}_n=197,u_0=200,S_n^2=9,4,n=10,S_n=3,06594...}\)
\(\displaystyle{ T= \frac{197-200}{3,06594...} \sqrt{10-1}=-2,935478...}\)
czyli też się zawiera ta wartość w zbiorze krytycznym czyli odrzucamy hipotezę zerową. Dobrze?

[Premislav]

Tak, choć gdzieniegdzie można by się pokusić o znak przybliżenia, a nie równości (BTW warto też pisać za każdym razem, na jakim poziomie istotności odrzucamy hipotezę zerową).

[janusz47]

Program R

Kod: Zaznacz cały

> paczki<-c(195,198,201,191,202,194,196,198,197,198)
> mean(paczki)
[1] 197
> Skwadrat= (1/9)*((195-197)^2 +(198-197)^2+(201-197)^2+(191-197)^2+(202-197)^2+(194-197)^2+(196-197)^2 +(198-197)^2 +(197-197)^2+(198-197)^2)
> Skwadrat
[1] 10.44444
> S= sqrt(Skwadrat)
> S
[1] 3.231786
> T10= (197-200)*3/(S)
> T10
[1] -2.784838

Lewostronny przedział krytyczny testu

Wyznaczenie wartości kwantyla rozkładu Studenta rzędu \(\displaystyle{ 2\alpha =2\cdot 0,05 = 0,10}\)
z \(\displaystyle{ n- 1= 10-1 = 9}\) stopniami swobody

Program R

Kod: Zaznacz cały

> q = qt(0.1,9)
> q
[1] -1.383029

Lewostronny przedział krytyczny testu:

\(\displaystyle{ K = \left( -\infty, -1,38 \rangle}\)

Wartość statystyki testowej

\(\displaystyle{ T_{10}\approx -2,78 \in \left( -\infty, -1,38 \rangle =K,}\)

mamy więc podstawy do odrzucenia hipotezy zerowej, że waga paczek sera białego wynosi \(\displaystyle{ 200}\) na przykład gramów i przyjęcia hipotezy alternatywnej, że jest ona od tej wartości mniejsza.

[max123321]

Ale Ty żeś coś poplątał. Dlaczego mnożysz pierwszy składnik wariancji przez jedną dziewiątą?

[janusz47]

Niedowidziałem nawiasu. Poprawiłem - teraz powinno być dobrze.

[max123321]

No dobra, ale dlaczego dzielisz przez \(\displaystyle{ 9}\), a nie \(\displaystyle{ 10}\)? Wariancja z tego co wiem, to jest średnia arytmetyczna kwadratów różnic poszczególnych wartości od średniej, więc dlaczego niby miałoby być ich \(\displaystyle{ n-1}\)?

[janusz47]

Uwzględniam estymator nieobciążony wariancji z próby. W liczniku występuje \(\displaystyle{ n}\) składników kwadratowych.

[max123321]

No, ale to jak powinno być w końcu, w mianowniku 9 czy 10 i dlaczego?

[janusz47]

W mianowniku powinno być \(\displaystyle{ 9.}\)