ENMW rozkład Poissona
-
- Użytkownik
- Posty: 108
- Rejestracja: 16 mar 2019, o 17:09
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
ENMW rozkład Poissona
Jaki jest ENMW dla wariancji w rozkładzie Poissona. Czy jest to \(\displaystyle{ S^{2}}\) ? Jak to udowodnić?
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
ENMW rozkład Poissona
\(\displaystyle{ S^2}\) jest tylko estymatorem nieobciążonym wariancji \(\displaystyle{ (\lambda)}\) rozkładu Poissona.
Estymatorem lepszym, parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) jest \(\displaystyle{ \overline{X},}\) tzn. spełniona jest nierówność:
\(\displaystyle{ Var_{\lambda}(\overline{X}) \leq Var_{\lambda}(S^2).}\)
Z informacji Fishera
\(\displaystyle{ I_{\lambda} = E_{X}\left( -\frac{ \partial^2}{ \partial \lambda^2}\ln(p(X,\lambda)\right) = \frac{1}{\lambda^2}E_{X}(\sum_{i=1}^{n}X_{i}) = \frac{n}{\lambda},}\)
\(\displaystyle{ \overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}}\)
Ponieważ dla rozkładu Poissona \(\displaystyle{ Var(X_{i})= \lambda,}\) więc
\(\displaystyle{ Var(\overline{X}) = \frac{\lambda}{n} = \frac{1}{I(\lambda)}}\)
Stąd i z kryterium Rao-Cramera (RCB) \(\displaystyle{ \overline{X}}\) jest \(\displaystyle{ ENW[\lambda].}\)
Estymatorem lepszym, parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) jest \(\displaystyle{ \overline{X},}\) tzn. spełniona jest nierówność:
\(\displaystyle{ Var_{\lambda}(\overline{X}) \leq Var_{\lambda}(S^2).}\)
Z informacji Fishera
\(\displaystyle{ I_{\lambda} = E_{X}\left( -\frac{ \partial^2}{ \partial \lambda^2}\ln(p(X,\lambda)\right) = \frac{1}{\lambda^2}E_{X}(\sum_{i=1}^{n}X_{i}) = \frac{n}{\lambda},}\)
\(\displaystyle{ \overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}}\)
Ponieważ dla rozkładu Poissona \(\displaystyle{ Var(X_{i})= \lambda,}\) więc
\(\displaystyle{ Var(\overline{X}) = \frac{\lambda}{n} = \frac{1}{I(\lambda)}}\)
Stąd i z kryterium Rao-Cramera (RCB) \(\displaystyle{ \overline{X}}\) jest \(\displaystyle{ ENW[\lambda].}\)
Ostatnio zmieniony 8 kwie 2019, o 14:56 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 108
- Rejestracja: 16 mar 2019, o 17:09
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
ENMW rozkład Poissona
Czyli jest to taki sam estymator jak dla wartości oczekiwanej. Czyli po prostu średnia z próby