ENMW rozkład Poissona

[xyz111]

Jaki jest ENMW dla wariancji w rozkładzie Poissona. Czy jest to \(\displaystyle{ S^{2}}\) ? Jak to udowodnić?

[janusz47]

\(\displaystyle{ S^2}\) jest tylko estymatorem nieobciążonym wariancji \(\displaystyle{ (\lambda)}\) rozkładu Poissona.

Estymatorem lepszym, parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) jest \(\displaystyle{ \overline{X},}\) tzn. spełniona jest nierówność:

\(\displaystyle{ Var_{\lambda}(\overline{X}) \leq Var_{\lambda}(S^2).}\)

Z informacji Fishera

\(\displaystyle{ I_{\lambda} = E_{X}\left( -\frac{ \partial^2}{ \partial \lambda^2}\ln(p(X,\lambda)\right) = \frac{1}{\lambda^2}E_{X}(\sum_{i=1}^{n}X_{i}) = \frac{n}{\lambda},}\)

\(\displaystyle{ \overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}}\)

Ponieważ dla rozkładu Poissona \(\displaystyle{ Var(X_{i})= \lambda,}\) więc

\(\displaystyle{ Var(\overline{X}) = \frac{\lambda}{n} = \frac{1}{I(\lambda)}}\)

Stąd i z kryterium Rao-Cramera (RCB) \(\displaystyle{ \overline{X}}\) jest \(\displaystyle{ ENW[\lambda].}\)

[xyz111]

Czyli jest to taki sam estymator jak dla wartości oczekiwanej. Czyli po prostu średnia z próby

[janusz47]

Tak.