Centralne Twierdzenie Graniczne - dowód równania

[Hummingbird]

Mam dwa zadania, które sprawiają mi problem:

1 ) Udowodnij : \(\displaystyle{ \lim_{n \to oo} \sum_{k=0}^{n} e^{-n} \frac{n^{k}}{k!} = \frac{1}{2}}\)
2) Udowodnij: \(\displaystyle{ \lim_{n \to oo} \int_{k=0}^{n} ne^{-nx} dx = \frac{1}{2}}\)

wiem, że mam skorzystać z CTG dla 1) dla jednakowych rozkładów Poissona z parametrem 1, 2) dla jednakowych rozkładów wykładnczych z parametrem 1. Niestety te "podpowiedzi" nie pomogły mi w rozwiazaniu żadnego z tych zadań, mogę prosić o naprowadzenie?
Zauważyłem, że jak weźmiemy 1) i rozkład Poissona z parametrem n, to otrzymamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to oo} \sum_{k=0}^{n} P(X=k)}\), ale nie potrafię znaleźć dalszej drogi do czego ma mnie to poprowadzić.

[Premislav]

Jeśli \(\displaystyle{ X_1, \ldots X_n}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ 1}\), to \(\displaystyle{ Z_n=X_1+X_2+\ldots+X_n}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ n}\).
Zatem
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} e^{-n} \frac{n^{k}}{k!} =\mathbf{P}(X_1+\ldots+X_n\le n)=\\=\mathbf{P}\left( \frac{X_1+\ldots+X_n-n}{\sqrt{n}}\le 0 \right)}\)

Na podobnej zasadzie w drugiej części, tylko rozkład gamma i wykładniczy. Suma \(\displaystyle{ n}\) niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ 1}\) ma rozkład gamma z parametrami \(\displaystyle{ \alpha=n, \ \beta=1}\). Sorry, wcześniej tu się pomyliłem.