Ciąg zmiennych losowych

[Hummingbird]

Niech \(\displaystyle{ X_{1} X_{2} ... X_{n}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie jednostajnym na odcinku [0, \(\displaystyle{ pi}\)]. Do jakiej liczby zbiega z prawdopodobieństwem 1 ciag zmiennych losowych:
\(\displaystyle{ Z_{n} = \frac{ \sum_{i=1}^{n} \sin X _{i} }{ \sum_{i=1}^{n} X_{i} } ?}\)

Mogę prosić o wskazówki jak rozwiązać to zadanie?

[Premislav]

Skoro \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne, a \(\displaystyle{ f(t)=\sin t, \ t\in \RR}\), jako funkcja ciągła, jest funkcją borelowską, to \(\displaystyle{ \sin X_i}\) też są niezależne.

Zapisz \(\displaystyle{ Z_n= \frac{ \frac{ \sum_{i=1}^{n}\sin X_i }{n} }{ \frac{ \sum_{i=1}^{n}X_i }{n} }}\) i z Mocnego Prawa Wielkich Liczb (sprawdź założenia) wywnioskuj, do czego z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) dąży
\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{n} \sin X_i}{n}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{n}X_i }{n}}\)

[Hummingbird]

\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{i=1}^{n}X_i }{n}}\) dąży do EX, czyli w tym wypadku do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) (wartość oczekiwana rozkładu jednostajnego [0,\(\displaystyle{ pi}\)].

Natomiast licznik z MPWL Kołmogorowa to całka \(\displaystyle{ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x dx = \frac{2}{\pi}}\).

Ma to sens?

[Premislav]

Jak najbardziej.