Wyznaczyć metodą największej wiarygodności

[max123321]

Wyznaczyć metodą największej wiarygodności estymator parametru \(\displaystyle{ p}\) w rozkładzie geometrycznym
\(\displaystyle{ P(X=k)=p(1-p)^{k-1},}\) \(\displaystyle{ k=1,2,...,}\)

na podstawie \(\displaystyle{ n}\)-elementowej próby prostej \(\displaystyle{ (X_1,...,X_n)}\) pochodzącej z tego rozkładu.

Może mi ktoś krok po kroku powiedzieć jak to zrobić?

[Premislav]

To zadanie nie wymaga jakichś olśnień (chociaż może olśnienia pozwalają je zrobić szybciej niż standardowo, jednak wątpię), metodę największej wiarygodności masz przedstawioną na przykład w książce Ryszarda Zielińskiego, którą można znaleźć w necie: ... l/7ALL.pdf
Strona 71. i dalsze. Może ktoś podejmie się przepisywania Ci tutaj książki, ale ja nie mam ochoty.

[max123321]

No dobra, ale tam na stronie 72 jest rozkład normalny i widać, gdzie te \(\displaystyle{ x_i=j}\) są w tej funkcji gęstości i potem po prostu biorą iloczyn tych gęstości i można policzyć ekstremum. A gdzie tutaj będą te \(\displaystyle{ x_i}\) w tej funkcji rozkładu? Albo inaczej, powiedz mi ile będzie wynosić \(\displaystyle{ p_{\theta}(X_1)}\) ??

[Premislav]

Dla rozkładu dyskretnego zdaje się robimy coś takiego:
Niech \(\displaystyle{ x_1, x_2,\ldots x_n \in \NN^+}\) (no, ogólniej, do nośnika rozkładu, nośnikiem rozkładu geometrycznego jest \(\displaystyle{ \NN^+}\), co zresztą masz w zadaniu). Nasza próba
\(\displaystyle{ (X_1,...,X_n)}\) jest prosta (w szczególności mamy niezależność), zatem
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_1=x_1, X_2=x_2, \ldots X_n=x_n| p=\rho)= \prod_{i=1}^{n}\mathbf{P}(X_i=x_i|p=\rho)=\\= \prod_{i=1}^{n}\rho(1-\rho)^{x_i-1}=\rho^n(1-\rho)^{-n+ \sum_{i=1}^{n}x_i }}\)
Logarytmujesz to teraz i traktujesz otrzymany tzw. logarytm funkcji wiarygodności (albo wiarygodności) jako funkcję zmiennej \(\displaystyle{ \rho}\) (no takie sobie oznaczenie wybrałem, żeby przypominało wizualnie oryginalny parametr \(\displaystyle{ p}\) rozkładu, który estymujemy, ale żeby nie było tym samym) i szukasz jej maksimów za pomocą rachunku różniczkowego (masz otrzymać wyrażenie zależne od \(\displaystyle{ x_i}\)). To tak od strony technicznej, ale weźże przeczytaj coś w notatkach czy książce.
Czyli maksymalizujemy pewne prawdopodobieństwo warunkowe i szukamy argumentu, dla którego to maksimum jest przyjmowane, to ten nasz estymator.

[max123321]

No dobra już kapuję. Ja czytam książki, ale co z tego jak często nie rozumiem tego co tam jest. A wystarczyło mi powiedzieć, że \(\displaystyle{ p_{\theta}(x_1)=p(1-p)^{x_1-1}}\). I dalej to już chyba wiem, bo
\(\displaystyle{ p_{\theta}(x_2)=p(1-p)^{x_2-1},...,p_{\theta}(x_n)=p(1-p)^{x_n-1}}\), bo te argumenty tych funkcji to są jak rozumiem wyniki poszczególnych eksperymentów. Czyli w tym zadaniu mamy po prostu dane \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n}\), które są wynikami eksperymentu. Zgadza się? No i dalej bierzemy iloczyn \(\displaystyle{ L(x_1,,x_2,...,x_n,\theta)=p^n\left( 1-p\right)^{x_1+x_2+...x_n-n}}\) no i dalej to już wiadomo, maksymalizujemy tą funkcję, tak jak z resztą napisałeś.

[Premislav]

bo te argumenty tych funkcji to są jak rozumiem wyniki poszczególnych eksperymentów. Czyli w tym zadaniu mamy po prostu dane \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n}\), które są wynikami eksperymentu. Zgadza się?

Tak.