dwa sposoby na wariancję

[Chewbacca97]

Nie rozumiem dlaczego dostaję inne wyniki licząc wariancję.

Ale od początku - mamy dane dwa równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} D:Q= \beta_0 + \beta_1P+u \\ S:Q = \gamma_0 + \gamma_1P+v \end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma_1 \neq \beta_1}\) a \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) to czynniki inne niż cena \(\displaystyle{ P}\), determinujące odpowiednio popyt i podaż.

Wiemy, że \(\displaystyle{ E(u)=E(v)=0}\), \(\displaystyle{ Var(u) = \sigma_u^2}\) oraz \(\displaystyle{ Var(v)=\sigma_v^2}\).

I tak: \(\displaystyle{ P = \frac{\beta_0 - \gamma_0}{\gamma_1 - \beta_1}+ \frac{u-v}{\gamma_1 - \beta_1}}\) i \(\displaystyle{ E(P)= \frac{\beta_0 - \gamma_0}{\gamma_1 - \beta_1}}\).

Licząc "na piechotę" \(\displaystyle{ Var(P) = Var \left( \frac{\beta_0 - \gamma_0}{\gamma_1 - \beta_1}+ \frac{u-v}{\gamma_1 - \beta_1}\right) = Var \left( \frac{u-v}{\gamma_1 - \beta_1}\right) = \frac{\sigma_u^2+\sigma_v^2}{\left( \gamma_1 - \beta_1\right)^2 }}\).

Ale kiedy użyję wzoru na wariancję: \(\displaystyle{ Var(P) = E\left[ \left( P-E(P)\right)^2 \right] = E( P^2) - E(P)^2}\).

Liczę: \(\displaystyle{ P^2 = \frac{\left( \beta_0-\gamma_0\right)^2 + \left( \beta_1 - \gamma_1\right)^2 + 2\left( \beta_0-\gamma_0\right)\left( \beta_1 - \gamma_1\right) }{\left( \gamma_1 - \beta_1\right)^2 }}\). Wtedy \(\displaystyle{ E( P^2)= \frac{\left(\beta_0-\gamma_0 \right)^2 }{\left( \gamma_1 - \beta_1\right)^2 }}\) oraz \(\displaystyle{ E( P)^2 = \left( \frac{\beta_0 - \gamma_0}{\gamma_1 - \beta_1}\right)^2}\).

W ten sposób dochodzę do \(\displaystyle{ Var(P) = E(P^2)-E(P)^2 = \frac{\left(\beta_0-\gamma_0 \right)^2 }{\left( \gamma_1 - \beta_1\right)^2 } - \left( \frac{\beta_0 - \gamma_0}{\gamma_1 - \beta_1}\right)^2 = 0}\), co jest złą wartością.

Czy mógłby mi ktoś wskazać, gdzie popełniam błąd?

[leg14]

1. W ogóle nie masz we wzorze na \(\displaystyle{ P^2}\) rzeczy zależnych od \(\displaystyle{ u, v}\)
2. Czy \(\displaystyle{ u, v}\) są niezależne?

[Chewbacca97]

1. Tak, oczywiście - błąd przy przepisywaniu w \(\displaystyle{ P^2}\). Powinno być \(\displaystyle{ P^2 = \frac{\left( \beta_0-\gamma_0\right)^2 + \left( u-v\right)^2 + 2\left( \beta_0-\gamma_0\right)\left( u-v\right) }{\left( \beta_1 - \gamma_1\right)^2 }}\).

2. Tak, są od siebie niezależne oraz ich korelacja \(\displaystyle{ Corr(u,v)=0}\).

[leg14]

No to z tego uaktualnionego wzoru ile wychdozi Ci \(\displaystyle{ \EE(P^2 )}\)?

[Chewbacca97]

No i tutaj właśnie mam problem - tj. nie wiem jak policzyć \(\displaystyle{ E\left( \frac{\left( u-v\right)^2 }{\left( \beta_1 - \gamma_1\right)^2} \right)}\). Tzn. sądziłem, że jest to równe \(\displaystyle{ 0}\).

Ale teraz widzę, że aby otrzymać poprawny wynik musi zachodzić \(\displaystyle{ E(u^2) = Var(u) = \sigma_u^2}\). Jednak nie do końca rozumiem dlaczego tak jest.

[leg14]

A wzór na wariancję, którego użyłeś?
\(\displaystyle{ Var(X) = \EE(X^2) - \EE(X) ^2}\)

[Chewbacca97]

Hahaha nie było pytania. Jakieś totalne zaćmienie miałem, wybacz.