Wyznacz stałe \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) tak, żeby statystyka
\(\displaystyle{ T(X)=a \cdot \min \left\{ X_{1}, X_{2},..., X_{n} \right\} +b}\) była estymatorem nieobciążonym wartości oczekiwanej dla rozkładu wykładniczego.
Czy wyznaczony estymator ma minimalną wariancję?
Estymator rozkładu wykładniczego
-
xyz111
- Użytkownik
- Posty: 108
- Rejestracja: 16 mar 2019, o 17:09
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
Estymator rozkładu wykładniczego
Ostatnio zmieniony 24 mar 2019, o 20:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Estymator rozkładu wykładniczego
Należy zacząć od znalezienia rozkładu zmiennej losowej
\(\displaystyle{ Y=\min\left\{ X_1, X_2 \ldots X_n\right\}}\), gdy \(\displaystyle{ X_i, i\in\left\{ 1, \ldots n\right\}}\) są niezależne i mają jednakowy rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\).
Wskazówka:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(\min\left\{ X_1, X_2 \ldots X_n\right\}\le y)=1-\mathbf{P}(\min\left\{ X_1, X_2 \ldots X_n\right\}> y)=\\=1-\mathbf{P}(X_1>y, X_2>y, \ldots X_n>y)=1- \prod_{i=1}^{n}\mathbf{P}(X_i>y)}\)
przy czy ostatnia równość wynika z niezależności \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots X_n}\).
To pozwoli Ci obliczyć \(\displaystyle{ \mathbf{E} T(X)}\) w zależności od \(\displaystyle{ a,b}\) i teraz należy tak dobrać \(\displaystyle{ a,b}\) aby wyszło \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}}\).
Jeśli zaś chodzi o MVUE, to w takich przypadkach jak tutaj czasami pomaga twierdzenie
Lehmanna-Scheffégo (koniecznie trzeba sprawdzić założenia! Szczerze to nie sprawdzałem, czy są spełnione).
\(\displaystyle{ Y=\min\left\{ X_1, X_2 \ldots X_n\right\}}\), gdy \(\displaystyle{ X_i, i\in\left\{ 1, \ldots n\right\}}\) są niezależne i mają jednakowy rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda>0}\).
Wskazówka:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(\min\left\{ X_1, X_2 \ldots X_n\right\}\le y)=1-\mathbf{P}(\min\left\{ X_1, X_2 \ldots X_n\right\}> y)=\\=1-\mathbf{P}(X_1>y, X_2>y, \ldots X_n>y)=1- \prod_{i=1}^{n}\mathbf{P}(X_i>y)}\)
przy czy ostatnia równość wynika z niezależności \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots X_n}\).
To pozwoli Ci obliczyć \(\displaystyle{ \mathbf{E} T(X)}\) w zależności od \(\displaystyle{ a,b}\) i teraz należy tak dobrać \(\displaystyle{ a,b}\) aby wyszło \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}}\).
Jeśli zaś chodzi o MVUE, to w takich przypadkach jak tutaj czasami pomaga twierdzenie
Lehmanna-Scheffégo (koniecznie trzeba sprawdzić założenia! Szczerze to nie sprawdzałem, czy są spełnione).