Weryfikacja hipotez

[adrian95]

Mam do rozwiązania zadanie:

Panuje przekonanie, że studenci dzienni uzyskują lepsze wyniki w nauce od studentów zaocznych. Wylosowano grupę \(\displaystyle{ 100}\) studentów dziennych i \(\displaystyle{ 60}\) zaocznych. Wśród studentów zaocznych \(\displaystyle{ 20}\) otrzymało stypendium, a wśród dziennych \(\displaystyle{ 28}\). Czy prawdą jest, że studenci dzienni uzyskują lepsze wyniki w nauce? Poziom istotności \(\displaystyle{ 0,01}\).

Jakiej w tym zadaniu należy użyć hipotezy? T studenta czy \(\displaystyle{ \chi^2}\)?

[janusz47]

Test dla dwóch frakcji studentów z \(\displaystyle{ p_{1} = \frac{20}{60}, \ \ p_{2}= \frac{28}{100}}\)
i \(\displaystyle{ \alpha = 0,01}\).

Nie ma w Statystyce hipotezy \(\displaystyle{ \chi^2}\) ani hipotezy \(\displaystyle{ T-Studenta.}\)

[adrian95]

Okej czyli rozwiązanie tego zadania powinno wyglądać tak:

\(\displaystyle{ n = 160}\)
\(\displaystyle{ p_{1}}\) - studenci zaoczni
\(\displaystyle{ p_{2}}\) - studenci dzienni

\(\displaystyle{ H_{0}: p_{1} = p_{2} \\
H_1: p_{1} < p_{2}}\)

\(\displaystyle{ p_{1} = \frac{20}{60} \approx 0,33 \\
p_2 = \frac {28}{100} = 0,28}\)

\(\displaystyle{ n= \frac{100 \cdot 60}{100 + 60} = 37,5 \\
p = \frac{20+28}{60+100} = 0,3 \\
q = 1 - p = 0,7 \\
u = \frac{p_1 - p_2}{ \sqrt{ \frac{p \cdot q}{n} } } \approx 1,38}\)


\(\displaystyle{ P(U > -U_ \alpha ) = 0,01 \\
P(U < -U_ \alpha ) = 1-0,01 = 0,99 \\
U_ \alpha = -0,01 \\
K \in (- \infty ; -0,01 \right\rangle}\)

\(\displaystyle{ U_ \alpha}\) nie zawiera się w \(\displaystyle{ K}\) - przyjęcie hipotezy \(\displaystyle{ H_o}\)

Czyli odpowiedź, że studenci dzienni nie uzyskują lepszych ocen niż zaoczni.

[janusz47]

Nie chodziło o porównywanie ilości studentów zaocznych i dziennych lecz porównanie ich jakości tzn. wyników w nauce.
W Pańskim zadaniu należy zastosować test T-Studenta dla dwóch prób niezależnych:

Statystyka Testowa:

\(\displaystyle{ T = \frac{\overline{X}_{1} - \overline{X}_{2}}{S_{x_{1}- x_{2}}}}\)

\(\displaystyle{ S_{x_{1}-x_{2}} = \sqrt{\frac{(n_{1}-1)\cdot s^2_{1} +(n_{2}-1)\cdot s^2_{2}}{n_{1}+n_{2}-2}\cdot \left(\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}\right)}.}\)

Statystyka testowa \(\displaystyle{ T}\) przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład Studenta z \(\displaystyle{ n_{1}+n_{2}-2}\) stopniami swobody.

Przepraszam za wprowadzenie w błąd.

[adrian95]

Jak ten test t studenta zastosować w praktyce?

[janusz47]

Obliczamy średnie z prób \(\displaystyle{ \overline{x_1}, \overline{x_2}}\) oraz wariancje \(\displaystyle{ s^2_{1}, s^2_{2}}\) grupy studentów zaocznych i dziennych.

Obliczamy wartość statystyki testowej \(\displaystyle{ t .}\)

Z tablicy rozkładu Studenta znajdujemy wartość kwantyla \(\displaystyle{ t_{(0,01; 158)}}\) .

Jeżeli \(\displaystyle{ t < t_{(0,01; 158)}}\) to przyjmujemy hipotezę \(\displaystyle{ H_{0}}\) - nie ma różnicy w uzyskiwaniu ocen między grupami studentów dziennych i zaocznych.

Jeżeli \(\displaystyle{ t\geq t_{(0,01, 158)}}\) - hipotezę \(\displaystyle{ H_{0}}\) odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej \(\displaystyle{ H_{1}.}\)