poziom ufności
poziom ufności
W próbie \(\displaystyle{ n=169}\) studentów z zadania 5, aż \(\displaystyle{ m=100}\) studentów narzeka na niski poziom wiedzy wykładowców. Przyjmując poziom ufności \(\displaystyle{ \gamma=0,95}\) oszacuj nieznane prawdopodobieństwo - \(\displaystyle{ p}\) tego, że student jest zadowolony z poziomu wiedzy wykładowców.
Ostatnio zmieniony 25 sty 2019, o 20:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
poziom ufności
Poziom ufności frakcji studentów zadowolonych z poziomu wiedzy wykładowców
\(\displaystyle{ Pr\left( \hat{p} - z_{\alpha}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\cdot(1 -\hat{p})}{n}} \leq p \leq \hat{p} + z_{\alpha}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\cdot(1 -\hat{p})}{n}}\right) = 1- \alpha.}\)
\(\displaystyle{ \hat{p} = 1 - \frac{m}{n}, \ \ \hat{p} = 1- \frac{100}{169}= \frac{69}{169}.}\)
Kwantyl \(\displaystyle{ z_{\alpha}}\) odczytujemy z tablicy dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) lub programu komputerowego na przykład R.
\(\displaystyle{ \gamma = 1-\alpha = 0,95, \ \ z_{0,05} \approx 1,96.}\)
Program R
Przedział ufności dla studentów zadowolonych z poziomu wiedzy wykładowców
\(\displaystyle{ Pr( L \leq p \leq P) = 0,95}\)
\(\displaystyle{ Pr( 0,33 \leq p \leq 0,48) = 0,95.}\)
Interpretacja przedziału ufności
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95}\) można oczekiwać, że przedział o końcach \(\displaystyle{ [ 0,33; 0,48]}\) należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją frakcję studentów zadowolonych z poziomu przygotowania wykładowców, a nie tylko próby \(\displaystyle{ 169}\) studentów.
\(\displaystyle{ Pr\left( \hat{p} - z_{\alpha}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\cdot(1 -\hat{p})}{n}} \leq p \leq \hat{p} + z_{\alpha}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\cdot(1 -\hat{p})}{n}}\right) = 1- \alpha.}\)
\(\displaystyle{ \hat{p} = 1 - \frac{m}{n}, \ \ \hat{p} = 1- \frac{100}{169}= \frac{69}{169}.}\)
Kwantyl \(\displaystyle{ z_{\alpha}}\) odczytujemy z tablicy dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) lub programu komputerowego na przykład R.
\(\displaystyle{ \gamma = 1-\alpha = 0,95, \ \ z_{0,05} \approx 1,96.}\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> L = 69/169 - 1.96*sqrt((69/169)*(100/169)/169)
> L
[1] 0.3341785
> P = 69/169 + 1.96*sqrt((69/169)*(100/169)/169)
> P
[1] 0.4823895
\(\displaystyle{ Pr( L \leq p \leq P) = 0,95}\)
\(\displaystyle{ Pr( 0,33 \leq p \leq 0,48) = 0,95.}\)
Interpretacja przedziału ufności
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95}\) można oczekiwać, że przedział o końcach \(\displaystyle{ [ 0,33; 0,48]}\) należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją frakcję studentów zadowolonych z poziomu przygotowania wykładowców, a nie tylko próby \(\displaystyle{ 169}\) studentów.