W klasycznym doświadczeniu dotyczącym selekcji grochu, Mendel obserwował liczność występowania różnych rodzajów nasion otrzymanych przy krzyżowaniu roślin okrągłymi i żółtymi nasionami oraz roślin z pomarszczonymi i zielonymi, a oto wyniki: Według teoretycznych rozważań prawdopodobieństwa występowania wymienionych rodzajów nasion powinny być w stosunku 1:3:3:9. Zweryfikować hipotezę
H: {stosunek czterech rodzajów nasion = 1:3:3:9}
pomarszczone i zielone - 32
pomarszczone i żółte - 101
okrągłe i zielone - 108
okrągłe i żółte - 315
Weryfikacja hipotezy
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Weryfikacja hipotezy
Test zgodności \(\displaystyle{ \chi^2}\)
1.
Określamy liczność próby czerech odmian groszku
\(\displaystyle{ n = n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}= 32+101+ 108 +315 = 556.}\)
2.
Obliczamy wartości oczekiwane występowania nasion czterech odmian groszku.
Pomarszczony i zielony
\(\displaystyle{ E_{1}= n\cdot p_{1} = 556 \cdot \frac{1}{16}= 34,75.}\)
Pomarszczony i żółty
\(\displaystyle{ E_{2} = n \cdot p_{2} = 556\cdot \frac{3}{16} = 104, 25.}\)
Okrągły i zielony
\(\displaystyle{ E_{3}= n\cdot p_{3} = 556 \cdot \frac{3}{16} = 104,25.}\)
Okrągły i żółty
\(\displaystyle{ E_{4} = n\cdot p_{4} = 556 \cdot \frac{9}{16} = 312, 75.}\)
3.
Obliczamy wartość statystyki
\(\displaystyle{ \chi^2 = \sum_{i=1}^{4} \frac{( O_{i} - E_{i})^2}{E_{i}},}\)
gdzie
\(\displaystyle{ O_{i}}\) - wartości obserwowane,
\(\displaystyle{ E_{i}}\) - wartości oczekiwane.
Program R
Wartość statystyki
\(\displaystyle{ \chi^2 \approx 0,47.}\)
4.
Określamy zbiór krytyczny testu.
Z tablicy rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2}\) (przyjmujemy poziom istotności testu \(\displaystyle{ \alpha = 0,05, \ \ \nu = 4 - 1 = 3}\) stopnie swobody.
\(\displaystyle{ Pr(\chi^2 \geq \chi^2_{\alpha}) = \alpha}\)
\(\displaystyle{ \chi^2_{0.05} = 7,815}\)
5.
Porównując wartość statystyki obliczonej z próby z wartością krytyczną testu, stwierdzamy, że
\(\displaystyle{ \chi^2 < \chi^2_{\alpha}.}\)
Wartość statystyki znalazła się poza obszarem krytycznym.
Nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że stosunek czterech rodzajów nasion wynosi \(\displaystyle{ 1:3:3:9.}\)
1.
Określamy liczność próby czerech odmian groszku
\(\displaystyle{ n = n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}= 32+101+ 108 +315 = 556.}\)
2.
Obliczamy wartości oczekiwane występowania nasion czterech odmian groszku.
Pomarszczony i zielony
\(\displaystyle{ E_{1}= n\cdot p_{1} = 556 \cdot \frac{1}{16}= 34,75.}\)
Pomarszczony i żółty
\(\displaystyle{ E_{2} = n \cdot p_{2} = 556\cdot \frac{3}{16} = 104, 25.}\)
Okrągły i zielony
\(\displaystyle{ E_{3}= n\cdot p_{3} = 556 \cdot \frac{3}{16} = 104,25.}\)
Okrągły i żółty
\(\displaystyle{ E_{4} = n\cdot p_{4} = 556 \cdot \frac{9}{16} = 312, 75.}\)
3.
Obliczamy wartość statystyki
\(\displaystyle{ \chi^2 = \sum_{i=1}^{4} \frac{( O_{i} - E_{i})^2}{E_{i}},}\)
gdzie
\(\displaystyle{ O_{i}}\) - wartości obserwowane,
\(\displaystyle{ E_{i}}\) - wartości oczekiwane.
Program R
Kod: Zaznacz cały
> chikwadrat = (32-34.75)^2/34.75 + (101 -104.25)^2/104.25 + (108 - 104.25)^2/104.25 + (315 -312.75)^2/312.75
> chikwadrat
[1] 0.470024
\(\displaystyle{ \chi^2 \approx 0,47.}\)
4.
Określamy zbiór krytyczny testu.
Z tablicy rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2}\) (przyjmujemy poziom istotności testu \(\displaystyle{ \alpha = 0,05, \ \ \nu = 4 - 1 = 3}\) stopnie swobody.
\(\displaystyle{ Pr(\chi^2 \geq \chi^2_{\alpha}) = \alpha}\)
\(\displaystyle{ \chi^2_{0.05} = 7,815}\)
5.
Porównując wartość statystyki obliczonej z próby z wartością krytyczną testu, stwierdzamy, że
\(\displaystyle{ \chi^2 < \chi^2_{\alpha}.}\)
Wartość statystyki znalazła się poza obszarem krytycznym.
Nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że stosunek czterech rodzajów nasion wynosi \(\displaystyle{ 1:3:3:9.}\)