Witam,
Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadań ze statystyki. Z góry dziękuję za pomoc.
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X\sim N(m;\sigma=0.9)}\) opisuje stopę zwrotu (%) w populacji generalnej inwestorów z rynku akcji. Dla próby \(\displaystyle{ n=144}\) inwestorów z tej populacji otrzymano średnią stopę zwrotu \(\displaystyle{ A(X)=5.4}\). Przyjmującpoziom ufności \(\displaystyle{ \gamma=0.95}\) oszacuj przedziałowo oczekiwaną stopę zwrotu - \(\displaystyle{ m}\) w populacji generalnej.
Zadania poziom ufności
Zadania poziom ufności
Ostatnio zmieniony 20 sty 2019, o 20:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Zadania poziom ufności
Dwustronny przedział ufności dla średniej, gdy rozkład cechy populacji jest normalny i znane jest jej odchylenie standardowe.
\(\displaystyle{ Pr\left (\overline{X}_{n}-\frac{\sigma\cdot u_{\alpha}}{\sqrt{n}} \leq m \leq \overline{X}_{n}+\frac{\sigma\cdot u_{\alpha}}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha}\)
Kwantyl \(\displaystyle{ u_{\alpha}}\) rzędu \(\displaystyle{ \alpha}\) określamy z tablicy standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przykład R
\(\displaystyle{ \phi(u_{\alpha}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,025 = 0,975.}\)
\(\displaystyle{ u_{0.05}\approx 1,96.}\)
Program R
\(\displaystyle{ Pr \left( 5,4 - \frac{1,96\cdot 0,9}{\sqrt{144}}\leq m \leq 5,4 + \frac{1,96\cdot 0,9}{\sqrt{144}}\right) = 0.95}\)
Program R
\(\displaystyle{ Pr ( 5,3\% \leq m \leq 5.5\% ) = 0,95.}\)
Interpretacja otrzymanego przedziału ufności
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95}\) należy oczekiwać, że przedział o końcach \(\displaystyle{ 5,3\%, \ \ 5,5\%}\) jest tym przedziałem ufności, który zawiera średnią procentową stopę zwrotu inwestorów na rynku akcji, a nie tylko ich \(\displaystyle{ 144}\) elementowej próby.
\(\displaystyle{ Pr\left (\overline{X}_{n}-\frac{\sigma\cdot u_{\alpha}}{\sqrt{n}} \leq m \leq \overline{X}_{n}+\frac{\sigma\cdot u_{\alpha}}{\sqrt{n}}\right) = 1-\alpha}\)
Kwantyl \(\displaystyle{ u_{\alpha}}\) rzędu \(\displaystyle{ \alpha}\) określamy z tablicy standaryzowanego rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przykład R
\(\displaystyle{ \phi(u_{\alpha}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,025 = 0,975.}\)
\(\displaystyle{ u_{0.05}\approx 1,96.}\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> ualpha = qnorm(0.975)
> ualpha
[1] 1.959964
Program R
Kod: Zaznacz cały
> L = 5.4 - (1.96*0.9)/sqrt(144)
> L
[1] 5.253
> P = 5.4 + (1.96*0.9)/sqrt(144)
> P
[1] 5.547
Interpretacja otrzymanego przedziału ufności
Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95}\) należy oczekiwać, że przedział o końcach \(\displaystyle{ 5,3\%, \ \ 5,5\%}\) jest tym przedziałem ufności, który zawiera średnią procentową stopę zwrotu inwestorów na rynku akcji, a nie tylko ich \(\displaystyle{ 144}\) elementowej próby.
Re: Zadania poziom ufności
Do zagadnienia normowania pracy potrzebne jest stosowanie średniego czasu pracy potrzebnego tokarzowi na obróbkę skrawaniem pewnego detalu na określonym typie obrabiarki. W tym celu zmierzono czas (min) toczenia tego detalu u \(\displaystyle{ n=10}\) wybranych losowo (niezależnie) tokarzy otrzymując
wyniki: \(\displaystyle{ 16.2, 15.4, 13.8, 18.0, 15.1, 17.3, 16.8, 15.0, 15.9, 16.5}\). Wiedząc, że czas toczenia (\(\displaystyle{ X}\)) ma rozkład normalny i przyjmując poziom ufności \(\displaystyle{ \gamma=0.95}\) oszacuj przedziałowo średni czas - \(\displaystyle{ m}\) toczenia detalu.
wyniki: \(\displaystyle{ 16.2, 15.4, 13.8, 18.0, 15.1, 17.3, 16.8, 15.0, 15.9, 16.5}\). Wiedząc, że czas toczenia (\(\displaystyle{ X}\)) ma rozkład normalny i przyjmując poziom ufności \(\displaystyle{ \gamma=0.95}\) oszacuj przedziałowo średni czas - \(\displaystyle{ m}\) toczenia detalu.
Ostatnio zmieniony 20 sty 2019, o 23:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Zadania poziom ufności
Dwustronny przedział ufności dla średniej, gdy badana cecha ma rozkład normalny i nieznane jest odchylenie standardowe \(\displaystyle{ \sigma.}\)
Dane:
\(\displaystyle{ n = 10}\) wybranych tokarzy
Tabela czasów toczenia pewnego detalu
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
nr. tokarza &1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
czas [min]&16.2&15.4&13.8&18.0&15.1&17.3&16.8&15.0&15.9&16.5\\ \hline
\end{tabular}}\)
Na podstawie danych czasów w tabeli, proszę obliczyć średnią \(\displaystyle{ \overline{t}_{10}}\) czasu toczenia, wariancję \(\displaystyle{ S^2_{10}}\) i odchylenie standardowe \(\displaystyle{ S_{10}= \sqrt{S^2_{10}}.}\)
Skorzystam z programu komputerowego R
Określamy przedział ufności dla nieznanego średniego czasu toczenia pewnego detalu.
\(\displaystyle{ Pr \left( \overline{X}_{n} - \frac{S_{n}\cdot t_{\alpha}}{\sqrt{n-1}} \leq m \leq \overline{X}_{n} + \frac{S_{n}\cdot t_{\alpha}}{\sqrt{n-1}} \right) = 1-\alpha}\)
Kwantyl \(\displaystyle{ t_{\alpha}}\) odczytujemy z tablicy Studenta lub programu komputerowego R
\(\displaystyle{ P(|T_{n-1}|\geq t_{\alpha}) = \alpha.}\)
W naszym przypadku
\(\displaystyle{ P(|T_{9}| \geq t_{0.05} = 0. 05}\) - ilość stopni swobody \(\displaystyle{ n-1 = 10-1=9,}\) rząd \(\displaystyle{ \alpha = 0.05}\)
\(\displaystyle{ t_{0,05} \approx 2.26.}\)
Po podstawieniu danych
\(\displaystyle{ Pr\left( 16 - \frac{2.26\cdot 1,23}{\sqrt{9}}\leq m \leq 16 + \frac{2.26\cdot 1,23}{\sqrt{9}}\right) min. = 0,95}\)
Program R
\(\displaystyle{ Pr( 15.1 \leq m \leq 16.9 ) min. = 0,95}\)
Interpretacja przedziału ufności
Z ufnością \(\displaystyle{ 0,95}\) należy spodziewać się, że przedział o końcach \(\displaystyle{ 15,1 min, \ \ 16,9 min.}\) jest tym przedziałem ufności , który pokryje średni czas obróbki pewnego detalu populacji tokarzy, a nie tylko ich próby \(\displaystyle{ 10}\) osób.
Proszę nie dopisywać nowego postu do postu, na który została już udzielona odpowiedź.
Otwieramy nowy post w tym przypadku w dziale Statystyka.
Dane:
\(\displaystyle{ n = 10}\) wybranych tokarzy
Tabela czasów toczenia pewnego detalu
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
nr. tokarza &1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
czas [min]&16.2&15.4&13.8&18.0&15.1&17.3&16.8&15.0&15.9&16.5\\ \hline
\end{tabular}}\)
Na podstawie danych czasów w tabeli, proszę obliczyć średnią \(\displaystyle{ \overline{t}_{10}}\) czasu toczenia, wariancję \(\displaystyle{ S^2_{10}}\) i odchylenie standardowe \(\displaystyle{ S_{10}= \sqrt{S^2_{10}}.}\)
Skorzystam z programu komputerowego R
Kod: Zaznacz cały
> czas<-c(16.2,15.4,13.8,18.0,15.1,17.3,16.8,15.0,15.9,16.5)
> t10=mean(czas)
t10
[1] 16
> S2= var(czas)
S2
[1] 1.515556
> S10 = sd(czas)
> S10
[1] 1.231079
\(\displaystyle{ Pr \left( \overline{X}_{n} - \frac{S_{n}\cdot t_{\alpha}}{\sqrt{n-1}} \leq m \leq \overline{X}_{n} + \frac{S_{n}\cdot t_{\alpha}}{\sqrt{n-1}} \right) = 1-\alpha}\)
Kwantyl \(\displaystyle{ t_{\alpha}}\) odczytujemy z tablicy Studenta lub programu komputerowego R
\(\displaystyle{ P(|T_{n-1}|\geq t_{\alpha}) = \alpha.}\)
W naszym przypadku
\(\displaystyle{ P(|T_{9}| \geq t_{0.05} = 0. 05}\) - ilość stopni swobody \(\displaystyle{ n-1 = 10-1=9,}\) rząd \(\displaystyle{ \alpha = 0.05}\)
\(\displaystyle{ t_{0,05} \approx 2.26.}\)
Po podstawieniu danych
\(\displaystyle{ Pr\left( 16 - \frac{2.26\cdot 1,23}{\sqrt{9}}\leq m \leq 16 + \frac{2.26\cdot 1,23}{\sqrt{9}}\right) min. = 0,95}\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> L = 16 - (2.26*1.23)/sqrt(9)
> L
[1] 15.0734
> P = 16 + (2.26*1.23)/sqrt(9)
> P
[1] 16.9266
Interpretacja przedziału ufności
Z ufnością \(\displaystyle{ 0,95}\) należy spodziewać się, że przedział o końcach \(\displaystyle{ 15,1 min, \ \ 16,9 min.}\) jest tym przedziałem ufności , który pokryje średni czas obróbki pewnego detalu populacji tokarzy, a nie tylko ich próby \(\displaystyle{ 10}\) osób.
Proszę nie dopisywać nowego postu do postu, na który została już udzielona odpowiedź.
Otwieramy nowy post w tym przypadku w dziale Statystyka.
Re: Zadania poziom ufności
W próbie n=169 studentów z zadania 5, aż m=100 studentów narzeka na niski poziom wiedzy
wykładowców. Przyjmując poziom ufności γ=0.95 oszacuj nieznane prawdopodobieństwo - p tego, że
student jest zadowolony z poziomu wiedzy wykładowców.
wykładowców. Przyjmując poziom ufności γ=0.95 oszacuj nieznane prawdopodobieństwo - p tego, że
student jest zadowolony z poziomu wiedzy wykładowców.