Zadanie 1. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(100; 10)}\). Obliczyć \(\displaystyle{ P(90 < \overline{X}_9 < 95)}\).
Zadanie 2. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(m; 1)}\). Obliczyć \(\displaystyle{ P(S^{2}_{10} < 2)}\).
Zadanie 3. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(100; 1)}\). Obliczyć \(\displaystyle{ P(S^{0\ 2}_{10} > 3)}\).
Zadanie 4. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(-10; \sigma)}\). \(\displaystyle{ S^{2}_{10} = 25}\). Obliczyć \(\displaystyle{ P(\overline{X}_{10} < 85)}\).
Aby obliczyć zadania skorzystam z rozkładów statystyk zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) gdy ma ona rozkład \(\displaystyle{ N(m, \sigma)}\). Źródło: ... 1-2015.pdf (strona 23)
Oto odpowiedzi na poszczególne zadania:a) statystyka \(\displaystyle{ \overline{X}_n}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(m, \frac{\sigma}{\sqrt{n}})}\),
b) statystyka \(\displaystyle{ \frac{\overline{X}_n - m}{S_n} \cdot \sqrt{n-1}}\) ma rozkład Studenta z \(\displaystyle{ n-1}\) stopniami swobody,
c) statystyka \(\displaystyle{ \frac{n\cdot S^{0\ 2}_n}{\sigma^2}}\) ma rozkład chi kwadrat z \(\displaystyle{ n}\) stopniami swobody,
d) statystyka \(\displaystyle{ \frac{n\cdot S^{2}_n}{\sigma^2}}\) ma rozkład chi kwadrat z \(\displaystyle{ n - 1}\) stopniami swobody,
Zadanie 1.
korzystając z a)
\(\displaystyle{ X \sim N(100; 10) \\
P(90 < \overline{X}_9 < 95)= P(\frac{90-100}{\frac{10}{\sqrt{9}}} < Z < \frac{95-100}{\frac{10}{\sqrt{9}}}) = P(-0.33<Z<-0.166) = \Phi(-0.166) - \Phi(-0.33) = 1 - \Phi(0.166) - 1 + \Phi(0.33) = -0.5636 + 0.6293 = 0.0657}\)
Zadanie 2.
korzystając z d)
\(\displaystyle{ X \sim N(m, 1) \\
P(S^{2}_{10} < 2) = P(10\cdot S^2_{10} < 20) = P (\chi^2_9 < 20) = 0.975}\)
Zadanie 3.
korzystając z c)
\(\displaystyle{ X \sim N(100, 1) \\
P(S^{0\ 2}_{10} > 2) = P(10\cdot S^{0\ 2}_{10} > 30) = P(\chi^2_{10} > 30) = 0.0009}\)
Zadanie 4.
korzystając z b)
\(\displaystyle{ X \sim N(-10, \sigma) \\
P(\overline{X}_{10} < 85) = P(\frac{\overline{X}_{10} + 10}{\sqrt{25}} \cdot \sqrt{9} < \frac{85+10}{\sqrt{25}} \cdot \sqrt{9}) = P(t_9 < 57) \approx 1}\)