a) Czy dobrze rozumuję, że wartość oczekiwania zwiększa się zgodnie ze wzorem \(\displaystyle{ EX = \sqrt{1,12} \cdot x \cdot M_{0}}\) (dla \(\displaystyle{ x > 0}\))?Niech \(\displaystyle{ M_{0}}\) będzie wartością portfela w chwili 0 i niech \(\displaystyle{ M_{i}}\) będzie wartością portfela w roku i. W każdym
roku wartość portfela wzrasta o 40% z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
lub spada o 20% w stosunku do wartości
portfela z poprzedniego roku.
a) Użyj prawa wielkich liczb, by opisać jak szybko \(\displaystyle{ M_{n}}\) rośnie jako funkcja n dla dużych n.
b) Użyj lewostronnej nierówności Czebyszewa, by wyestymować prawdopodobieństwo że \(\displaystyle{ M_{10} \le \frac{1}{2}M_{0}}\).
(Lewostronna nierówność Czebyszewa oznacza, że dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) z wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ \mu}\) i
wariancją \(\displaystyle{ \sigma^{2}}\) następujące ograniczenie jest spełnione dla każdego \(\displaystyle{ a > 0 : Pr (X \le \mu - a) \le \frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}+a^{2}}}\)
(Zgodnie z prawem wielkich liczb mamy pewność, że oba zdarzenia będą pojawiać się naprzemiennie, przez co wiemy że co \(\displaystyle{ 2x}\) wartość będzie rosnąć o \(\displaystyle{ 1.4 \cdot 0.8 = 1.12}\) , czyli co \(\displaystyle{ x}\) będzie rosnąć o \(\displaystyle{ \sqrt{1.12}}\))
b) Zupełnie nie wiem jak się za to zabrać, więc jeśli ktoś wie, to bardzo prosiłbym o pomoc
