Metoda największej wiarygodności

[MrFocus]

Witam, mam problem z następującym zadaniem:
X jest zmienną losową, o zadanej dystrybuancie:

\(\displaystyle{ F_X(x) = \left\{\begin{array}{l}1-x^{-a} \textnormal{ dla } x \geq 1 \\0 \textnormal{ dla } x<1 \end{array}}\)

gdzie \(\displaystyle{ a > 2}\)

Parametr a jest nieznany. Zaobserwowaliśmy 4 niezależne realizacje zmiennej losowej X, które mają wartości: 2, 6, 3, 12. Użyj metody największej wiarygodności do znalezienia estymatora \(\displaystyle{ \tilde{a}}\) prawdziwej wartości parametru a. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję X dla znalezionej wartości \(\displaystyle{ \tilde{a}}\), oraz oblicz wartość oczekiwaną i wariancję gdyby a było znane i równe 3.

Moje próby:
Wydaje mi się że na początku trzeba policzyć gęstość, wyjdzie:

\(\displaystyle{ f_X(x) = \left\{\begin{array}{l}ax^{-a-1}\textnormal{ dla } x \geq 1 \\0 \textnormal{ dla } x<1 \end{array}}\)

Z tego co wiem mam ułożyć funkcję l(a), a później policzyć z niej pochodną i przyrównać do zera. Ale jak ją ułożyć i wykorzystać podane wrtości X już nie wiem

Wyznaczyłem za to EX i wariancję dla a = 3:
\(\displaystyle{ EX = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx = \int_{-\infty}^{1}x0dx + \int_{1}^{\infty}x3x^{-4}dx =3\int_{1}^{\infty}x^{-3}dx = [\frac{3}{2x^{2}}]|_1^{\infty} = \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ D^2X=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\frac{3}{2})^23x^{-4}dx = \int_1^{\infty}3x^{-2}-9x^{-3}+\frac{27}{4}x^{-4}dx = [-\frac{3}{x}+\frac{9}{2x^{2}}-\frac{9}{4x^3}]|_1^\infty = \frac{13}{4}}\)

Za wszelką pomoc w dalszym rozwiązaniu zadania będę wdzięczny

[leg14]

Jaka jest łączne gęstośc wektora \(\displaystyle{ (X_1,X_2,X_3,X_4)}\) gdzie \(\displaystyle{ X_i \sim F_{X}}\) i współrzędne są niezależne?

[MrFocus]

Z tego co znalazłem, łączna gęstość wektora jest iloczynem gęstości poszczególnych zmiennych losowych:
\(\displaystyle{ h(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5) = f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot ... \cdot f_5(x)}\)
Nie do końca rozumiem co dalej

[HelperNES]

Obliczasz ile to wynosi, potem musisz po prostu znaleźć takie \(\displaystyle{ a}\), żeby uzyskać największą (wskazówka) wiarogodność

[MrFocus]

Więc:
Gęstość dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) jest dana: \(\displaystyle{ f(x) = ax^{-a-1}}\)
Dalej, iloczyn gęstości:
\(\displaystyle{ (ax^{-a-1})^4}\)
Podstawiam wartości za x:
\(\displaystyle{ (a2^{-a-1})(a6^{-a-1})(a3^{-a-1})(a12^{-a-1})}\), liczę pochodną po a, przyrównuję do 0 i wybieram największe a, dobrze rozumiem?

[HelperNES]

Pochodna da Ci tylko jedno a, więc nie da się wybrać go największego, ale dobrze kombinujesz

Zawsze możesz też daną funkcją zlogarytmować i dopiero potem zrobić pochodną. Nie zmieni to wyniku, a ułatwia czasami obliczenia

[leg14]

Helper, wiedziałem, że botów nie naeży wpuszczać na forum (zartttt)

Panowie, jeśli \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne i mają gęstość \(\displaystyle{ g}\)
to gęstość \(\displaystyle{ (X,Y)}\) nie jest równa \(\displaystyle{ g(x)^2}\)
tylko \(\displaystyle{ g(x)g(y)}\)!

[MrFocus]

To może jeszcze raz, bo nie wiem czy dobrze rozumiem
Mam dane niezależne realizacje zmiennej X: 2, 6, 3, 12. Gęstość dla każdej z nich jest wyrażona wzorem: \(\displaystyle{ f_X(x) = ax^{-a-1}}\). Gęstość wektora to:
\(\displaystyle{ h(X_1,X_2,X_3,X_4,X_5) = f(x_1) \cdot f(x_2) \cdot ... \cdot f(x_5)}\).
Więc dla mojego przykładu będzie to:
\(\displaystyle{ (a2^{-a-1})(a6^{-a-1})(a3^{-a-1})(a12^{-a-1})}\)
Dalej liczę pochodną, przyrównuję do zera i wyznaczam \(\displaystyle{ \tilde{a}}\), które jest estymatorem o największej wiarygodności. Zgadza się?