Byłbym wdzięczny za pomoc w wytłumaczeniu zagadnień potrzebnych do rozwiązania poniższych zadań, wykłady mojego profesora są dla mnie bardzo nieczytelne
Zadanie 1.
W losowo wybranej grupie 25 samochodów marki ABC przeprowadzono badanie
zużycia benzyny na, tej samej dla wszystkich samochodów, trasie długości 100
km. Okazało się, że średnie zużycie benzyny (w l/100 km) wynosiło 5,4.
Zakładając, że badana cecha ma rozkład normalny o odchyleniu 0.6, na poziomie
ufności 0.9 wyznacz przedział ufności dla wartości przeciętnej zużycia benzyny
przez samochody tej marki.
Zadanie 2.
Wśród 350 wybranych losowo wyrobów znaleziono 56 wyrobów wadliwych.
Wykorzystując wynik badania kontrolnego podać 99%-wy przedział ufności dla
frakcji wyrobów dobrych.
Zadanie 3.
W centrali telefonicznej dokonano 16 obserwacji długości losowo wybranych
rozmów w ciągu jednego dnia i otrzymano średnią 4,6 min oraz odchylenie 1,4
min. Zakłada się, że długości rozmów telefonicznych mają rozkład normalny.
Wyznacz 95% przedział ufności dla wartości przeciętnej długości rozmowy
telefonicznej.
Zadanie 4.
12-tu tokarzy wykonuje takie same części. Ich średnie wydajności w sztukach na
godzinę wynoszą odpowiednio:
4,6; 6,1; 10,3; 9,8; 6,7; 12,3; 14,5; 8,7; 9,0; 7,3; 8,8; 11,2.
Można przyjąć, że wydajność tokarzy jest zmienną losową o rozkładzie
normalnym. Wyznacz 95%-wy przedział ufności dla odchylenia liczby sztuk
wykonanych w ciągu godziny przez tokarza.
Przedziały ufności
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Przedziały ufności
A co robisz qurczaq poza krytyką Pana Profesora i wrzucaniem zadań na forum, które nie raczysz nawet próbować rozwiązać, aby jego wykłady stały się dla Ciebie bardziej czytelne?
Przedziały ufności
Staram się zrozumieć treść wykładów, ale matematyka nie jest moją pasją i mam z tym trudność, więc pytam lepszych od siebie o pomoc.
-
PoweredDragon
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
Przedziały ufności
A co studiujesz?qurczaq pisze:Staram się zrozumieć treść wykładów, ale matematyka nie jest moją pasją i mam z tym trudność, więc pytam lepszych od siebie o pomoc.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Przedziały ufności
To w takim razie przejdźmy do zadań.
Zadanie 1
Przedział ufności dla średniej
Rozkład zużycia benzyny - normalny jest dany i odchylenie standardowe
\(\displaystyle{ \sigma =0,6}\) jest znane.
Postać obustronnego przedziału ufności:
\(\displaystyle{ \langle \overline{X}_{25} - \frac{\sigma\cdot u_{0,9}}{\sqrt{25}}; \ \ \overline{X}_{25} + \frac{\sigma \cdot u_{0,9}}{\sqrt{25}} \rangle l \ \ (1)}\)
Kwantyl \(\displaystyle{ u_{0,9}}\) wyznaczasz z tablicy standaryzowanego rozkładu normalnego (programu komputerowego np. R) z równania: \(\displaystyle{ \phi(u_{0,9}) = 1 - \frac{0,9}{2}.}\)
Po podstawieniu danych i wyznaczeniu przedziału ufności \(\displaystyle{ (1 )}\) podajesz jego statystyczną interpretację:
Przedział o końcach \(\displaystyle{ L, P}\) jest tym przedziałem ufności, który z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0, 9}\) pokryje średnie zużycie benzyny marki samochodów ABC, a nie tylko ich stu elementowej próby.
-- 5 sty 2019, o 17:07 --
Zadanie 2
Przedział ufności dla frakcji (wskaźnika struktury)
\(\displaystyle{ n = 350}\)
Próba jest duża, dlatego przy budowie przedziału ufności stosujemy wzór
\(\displaystyle{ \langle \hat{p} - u_{\alpha}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}}; \ \ \hat{p}+ u_{\alpha}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}}\rangle \ \ (2)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \hat{p}= \frac{56}{350}.}\)
Kwantyl \(\displaystyle{ u_{0,99}}\) standaryzowanego rozkładu normalnego wyznaczamy podobnie jak w zadaniu pierwszym.
Podajemy interpretację przedziału ufności \(\displaystyle{ (2).}\)
-- 5 sty 2019, o 17:48 --
Zadanie 3
Przedział ufności dla średniej
Przedział ufności dla średniej, gdy rozkład długości rozmów telefonicznych jest normalny - znany, odchylenie standardowe jest nieznane (mała próba).
\(\displaystyle{ \langle \overline{X}_{16} - \frac{S_{16}\cdot u_{0,95}}{\sqrt{16-1}}; \ \ \overline{X}_{16} + \frac{S_{16} \cdot u_{0,95}}{\sqrt{16-1}} \rangle}\)
Kwantyl rzędu \(\displaystyle{ 0,95}\) z \(\displaystyle{ n-1 = 16-1 =15}\) stopniami swobody obliczamy z tablicy rozkładu Studenta (lub programu komputerowego np. R) z równania
\(\displaystyle{ P(|T_{15}|\geq u_{0,95})= 0,95.}\)
Interpretujemy otrzymany przedział ufności.
-- 5 sty 2019, o 18:01 --
Zadanie 4
Przedział ufności dla odchylenia standardowego
\(\displaystyle{ \langle \sqrt{\frac{n\cdot S^2_{n}}{u_{1}}}; \ \ \sqrt{\frac{n\cdot S^2_{n}}{u_{2}}} \rangle}\)
Na podstawie danych z próby, obliczamy wariancję \(\displaystyle{ S^2_{n}.}\)
Kwantyle \(\displaystyle{ u_{1}, \ \ u_{2}}\) obliczamy z tablicy rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2}\) (programu komputerowego np. R) z \(\displaystyle{ n-1}\) stopniami swobody odpowiednio z równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} P(Y_{n-1}\geq u_{1}) = \frac{\alpha}{2}, \\ P(Y_{n-1}\geq u_{2}) = 1-\frac{\alpha}{2} \end{cases}.}\)
Interpretujemy otrzymany przedział ufności.
Zadanie 1
Przedział ufności dla średniej
Rozkład zużycia benzyny - normalny jest dany i odchylenie standardowe
\(\displaystyle{ \sigma =0,6}\) jest znane.
Postać obustronnego przedziału ufności:
\(\displaystyle{ \langle \overline{X}_{25} - \frac{\sigma\cdot u_{0,9}}{\sqrt{25}}; \ \ \overline{X}_{25} + \frac{\sigma \cdot u_{0,9}}{\sqrt{25}} \rangle l \ \ (1)}\)
Kwantyl \(\displaystyle{ u_{0,9}}\) wyznaczasz z tablicy standaryzowanego rozkładu normalnego (programu komputerowego np. R) z równania: \(\displaystyle{ \phi(u_{0,9}) = 1 - \frac{0,9}{2}.}\)
Po podstawieniu danych i wyznaczeniu przedziału ufności \(\displaystyle{ (1 )}\) podajesz jego statystyczną interpretację:
Przedział o końcach \(\displaystyle{ L, P}\) jest tym przedziałem ufności, który z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0, 9}\) pokryje średnie zużycie benzyny marki samochodów ABC, a nie tylko ich stu elementowej próby.
-- 5 sty 2019, o 17:07 --
Zadanie 2
Przedział ufności dla frakcji (wskaźnika struktury)
\(\displaystyle{ n = 350}\)
Próba jest duża, dlatego przy budowie przedziału ufności stosujemy wzór
\(\displaystyle{ \langle \hat{p} - u_{\alpha}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}}; \ \ \hat{p}+ u_{\alpha}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}}\rangle \ \ (2)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \hat{p}= \frac{56}{350}.}\)
Kwantyl \(\displaystyle{ u_{0,99}}\) standaryzowanego rozkładu normalnego wyznaczamy podobnie jak w zadaniu pierwszym.
Podajemy interpretację przedziału ufności \(\displaystyle{ (2).}\)
-- 5 sty 2019, o 17:48 --
Zadanie 3
Przedział ufności dla średniej
Przedział ufności dla średniej, gdy rozkład długości rozmów telefonicznych jest normalny - znany, odchylenie standardowe jest nieznane (mała próba).
\(\displaystyle{ \langle \overline{X}_{16} - \frac{S_{16}\cdot u_{0,95}}{\sqrt{16-1}}; \ \ \overline{X}_{16} + \frac{S_{16} \cdot u_{0,95}}{\sqrt{16-1}} \rangle}\)
Kwantyl rzędu \(\displaystyle{ 0,95}\) z \(\displaystyle{ n-1 = 16-1 =15}\) stopniami swobody obliczamy z tablicy rozkładu Studenta (lub programu komputerowego np. R) z równania
\(\displaystyle{ P(|T_{15}|\geq u_{0,95})= 0,95.}\)
Interpretujemy otrzymany przedział ufności.
-- 5 sty 2019, o 18:01 --
Zadanie 4
Przedział ufności dla odchylenia standardowego
\(\displaystyle{ \langle \sqrt{\frac{n\cdot S^2_{n}}{u_{1}}}; \ \ \sqrt{\frac{n\cdot S^2_{n}}{u_{2}}} \rangle}\)
Na podstawie danych z próby, obliczamy wariancję \(\displaystyle{ S^2_{n}.}\)
Kwantyle \(\displaystyle{ u_{1}, \ \ u_{2}}\) obliczamy z tablicy rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2}\) (programu komputerowego np. R) z \(\displaystyle{ n-1}\) stopniami swobody odpowiednio z równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} P(Y_{n-1}\geq u_{1}) = \frac{\alpha}{2}, \\ P(Y_{n-1}\geq u_{2}) = 1-\frac{\alpha}{2} \end{cases}.}\)
Interpretujemy otrzymany przedział ufności.