mocne prawo wielkich liczb

[ania6688]

Automat do kawy akceptuje monety \(\displaystyle{ 1}\)$ i \(\displaystyle{ 2}\)$, pobiera \(\displaystyle{ 1}\)$ za kawę i wydaje resztę gdy ktoś zapłaci monetą dwudolarową pod warunkiem, że w automacie wciąż były monety jednodolarowe. Automat ma dwa pojemniki: jeden na monety jednodolarowe, a drugi na monety dwudolarowe. Całkowita ilość monet które mieszą się w automacie jest równa \(\displaystyle{ N >> 1}\). Prawdopodobieństwo że osoba płaci za kawę monetą \(\displaystyle{ 1}\)$ wynosi \(\displaystyle{ p1}\) , a prawdopodobieństwo że osoba płaci monetą \(\displaystyle{ 2}\)$ wynosi \(\displaystyle{ p2}\) . Osoby przychodzą po kawę niezależnie i po jednej w danej chwili (czyli można przyjąć że czas jest dyskretny i w każdym kroku czasowym inna osoba próbuje zakupić kawę w automacie). Automat przestaje pracować w przypadku gdy jeden z pojemników (pojemnik na monety\(\displaystyle{ 1}\)$ lub pojemnik na monety\(\displaystyle{ 2}\)$) będzie pełny.

i) Zaproponuj dobór wielkości \(\displaystyle{ N_{1}}\) dla pojemnika na monety \(\displaystyle{ 1}\)$ i \(\displaystyle{ N_{2}}\) dla pojemnika na monety \(\displaystyle{ 2}\)$ jeśli automat do kawy powinien pracować tak długo, jak to tylko możliwe. Znajdź przybliżoną odpowiedź dla dużego \(\displaystyle{ N ( N = N_{1}+N_{2} )}\) znając wartości \(\displaystyle{ p1}\) oraz \(\displaystyle{ p2}\). (Podpowiedź: użyj mocnego prawa wielkich liczb.)

[PoweredDragon]

Jakieś próby rozwiązania?

[ania6688]

Na razie bezowocne.

[olo99]

Weź deskę Galtona, załóż p1=p2, wylicz liczbowo kilka przykładów dla małych zasobników monet, przejdź na wzory ogólne, wylicz granice, przejdź na p1<>p2.