Dowód dwuwymiarowej zmiennej losowej

[Gotek]

Mam zadanie typu:

Dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ \left( X\right,Y)}\) ma łączną funkcję gęstości prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f _{X,Y} \left( x\right,y)}\).

Należy udowodnić, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=X+Y}\) ma wzór
\(\displaystyle{ f _{Z}\left( z\right) = \int_{- \infty }^{ \infty } f _{X,Y} \left( x\right,z-x)dx}\)

Nie wiem jak mam się za takie zadanie zabrać?

[kolegasafeta]

Dwie uwagi

1) Tytuł posta jest trochę dzwiny bo zmiennej nie trzeba dowodzić
2) Ta własność splotu to standardzik, dowód można przepisać np z angielskiej wikipedii

[janusz47]

\(\displaystyle{ F_{X+Y}(z) = F_{Z}(z) = \iint _{x+y\leq z} f_{(X,Y)}(x,y)dxdy = \iint_{x+y\leq z}f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y) dxdy =\\ = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{z- x}f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y) dxdy}\)

Stąd

\(\displaystyle{ f_{Z}(z) = F'_{Z}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x)\cdot f_{Y}(z-x)dx = f_{X}(x)* f_{Y}(y)}\)

[kolegasafeta]

Wszystko pięknie. Brakuje tylko założenia o niezależności zmiennych, z którego wynika druga równość.

PS
Jeszcze chyba tutaj

\(\displaystyle{ F_{Z}(z) = F'_{Z}(z)}\) pierwsze \(\displaystyle{ f}\) małe bo chodzi o gęstość (pochodna z dystrybuanty dla fkcji ciągłęj).

[janusz47]

Nie popisuj się.

Wzór na splot funkcji gęstości jest prawdziwy tylko dla zmiennych losowych niezależnych.

[kolegasafeta]

"Nie popisuj się" to ogólne stwierdzenie czy to do mnie? Mój post wniósł coś do tematu, Twój ostatni - nic.

Co do niezależności to zgadza się, to właśnie napisałem.

[janusz47]

Co wniósł do tematu?

1) Tytuł posta jest trochę dzwiny bo zmiennej nie trzeba dowodzić
2) Ta własność splotu to standardzik, dowód można przepisać np z angielskiej wikipedii