Centralne twierdzenie graniczne

[ania6688]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Niech \(\displaystyle{ \{X_i\}^{n}_{i=1}}\)będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie spełniającym warunki \(\displaystyle{ X_i \in \{-1, +1\}}\) oraz
\(\displaystyle{ Pr \{X_1 = 1\} =\frac12}\). Ponadto, niech \(\displaystyle{ S_n = \sum_{i=1}^{n} X_i}\)
a) użyj centralnego twierdzenia granicznego, by wyestymować prawdopodobieństwo że \(\displaystyle{ S_{1000} < -50}\).
b) Jak dużego \(\displaystyle{ n}\) potrzeba, by prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ S_n > 1000}\) było równe co najmniej \(\displaystyle{ \frac12}\). (Ponownie wykorzystaj centralne twierdzenie graniczne).

[Premislav]

a) Zacznijmy od tego, że
\(\displaystyle{ \mathbf{E}(X_i)=\frac 1 2\cdot 1+\frac 1 2\cdot (-1)=0}\)
oraz
\(\displaystyle{ \mathrm{Var}(X_i)=\mathbf{E}(X_i^2)-\left(\mathbf{E}(X_i)\right)^2=\frac 1 2\cdot 1^2+\frac 1 2\cdot (-1)^2-0^2=1}\)

Następnie zapiszmy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(S_{1000}<-50)=\mathbf{P}\left( \frac{S_{1000}-1000\mathbf{E}(X_1)}{\sqrt{1000 \mathrm{Var}(X_1)}}<\frac{-50-1000\mathbf{E}(X_1)}{\sqrt{1000 \mathrm{Var}(X_1)}}\right)}\)
Teraz podstaw dane z powyższych obliczeń, powołaj się na CTG i skorzystaj z tablic standardowego rozkładu normalnego (albo z jakiegoś programu). Tablice masz np. tutaj:
temat nie istnieje

b) \(\displaystyle{ \mathbf{P}(S_n>1000)=1-\mathbf{P}(S_n\le 1000)=\ldots}\)
i
\(\displaystyle{ 1-\mathbf{P}(S_n\le 1000) >\frac 1 2\Leftrightarrow \mathbf{P}(S_n\le 1000) <\frac 1 2}\)
Po przekształceniach podobnych jak w a) ponownie pojawi się potrzeba skorzystania z tablic albo jakiegoś programu.

[ania6688]

A nie powinno być przypadkiem w podpunkcie a)
\(\displaystyle{ X _{i}}\) a nie \(\displaystyle{ X _{1}}\)??
A więc w drugim podpunkcie powinno wyglądać to tak
\(\displaystyle{ Z = \frac{Sn-n \cdot E \left( X_{i} \right) }{VAR \left( X_{i} \right) \sqrt{n} } = \frac{1000-0 \cdot n}{1 \sqrt{n} }}\)
Więc ostatecznie
\(\displaystyle{ P \left( Sn>1000 \right) = P \left( Z> \frac{1000}{ \sqrt{n} } \right)}\)
\(\displaystyle{ P \left( Z> \frac{1000}{ \sqrt{n} } \right) \ge \frac{1}{2}}\)
czy źle myślę?