Tu nie ma sumy ciągu (szeregu), jest zwykłe całkowanie przez części.
Jest to zagadnienie już rozwiązane, można znaleźć nie pamiętam w jakich podręcznikach z probabilistyki.
Najprościej - wychodzi się z równości, którą wyprowadza się na zajęciach z Analizy Matematycznej:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}}\)
Kolejne całkowania przez części dają:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}(-x)^2 e^{-\alpha x^2}dx =-\frac{1}{2} \sqrt{\pi} \alpha^{-\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}(-x)^2(-x)^2 e^{-\alpha x^2}dx =-\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)\sqrt{\pi} \alpha^{-\frac{5}{2}}}\)
..................................................................................................................................
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}(x)^{2k} e^{-\alpha x^2}dx =\sqrt{2\pi}[(2k-1)!!] 2^{-\frac{k}{2}}\alpha^{ -\frac{(k+1)}{2}}, \ \ k=1,2,3,...,}\) (indukcja względem k).
Podstawiając w ostatniej równości dla rozkładu normalnego
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{1}{2\sigma^2}}\)
i dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ \sigma\sqrt{2\pi}}\)
mamy
\(\displaystyle{ E(x^{n})= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}x^{n}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx, \ \ n=2,4,6,...,}\)
Dokonując w ostatniej całce zamiany zmiennych \(\displaystyle{ z = \frac{x-\mu}{2\sigma}}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ m_{n}= E(X -\mu)^{n}) = \begin{cases} (n-1)!!\cdot \sigma^{n} \ \ \mbox{gdy} \ \ n \ \ \mbox{parzyste}\\ 0 \ \ \mbox{gdy} \ \ n \ \ \mbox{nieparzyste}. \end{cases}}\)