Dzień dobry.
Mam do zrealizowania takie zadanie:
Aby uzyskać informację na temat ilości pozyskanego drewna z brzóz należy wiedzieć między innymi jaka jest wysokość drzew w lesie. Jaka jest liczba minimalna drzew, które należy zmierzyć, aby wyznaczyć średnią wysokość drzewa, z prawdopodobieństwem równym 95% oraz z dokładnością do 0,5 metra?
W celu wyznaczenia próby pilotażowej zmierzono 15 drzew, a wyniki przedstawiono poniżej:
Wysokość drzewa: 21; 23; 20,4; 21,2; 26 ; 24,3; 20,1; 25; 27; 23,3; 24,4; 21,9; 24; 22; 25,6.
Po przeglądnięciu zadań w internecie rozumiem, że mam skorzystać z jednego wzoru na PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA WARTOŚCI OCZEKIWANEJ (ŚREDNIEJ). Nie mam odchylenia standardowego, ale mam próbę pilotażową.
258568.htm - na podstawie tych informacji wnioskuję, że powinnam zastosować "Model dla wartości średniej o nieznanym odchyleniu standardowym"
Problem jest taki, że muszę wykazać skąd mam taki wzór... Jest tu ktoś kto jest w stanie to rozpisać albo odesłać do miejsca gdzie ten wzór zostaje wyprowadzony krok po kroku?
Minimalna liczebność próby - próba pilotażowa
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Minimalna liczebność próby - próba pilotażowa
Wnioskowanie Pani jest słuszne.
Zakładamy, że \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2},..., X_{n}}\) jest próbą prostą o nieznanej średniej i rozkładzie \(\displaystyle{ N(m, \sigma^2).}\) Nieznaną wartość \(\displaystyle{ \sigma}\) szacujemy za pomocą odchylenia standardowego z próby.
Do konstrukcji przedziału wykorzystujemy zmienną losową:
\(\displaystyle{ T = \frac{\sqrt{n}(\overline{X} - \mu)}{S}}\)
Ta zmienna ma rozkład Studenta z \(\displaystyle{ (n-1)}\) stopniami swobody, więc
\(\displaystyle{ Pr \left(- t_{n-1, \frac{\alpha}{2}} \leq {\frac{\sqrt{n}(\overline{X} - \mu)}{S} \leq t_{n-1, \frac{\alpha}{2}} \right) = 1- \alpha}\)
Stąd otrzymujemy przedział ufności dla średniej:
\(\displaystyle{ \left( \overline{X}_{n}- \frac{S}{\sqrt{n}}\cdot t_{n-1, \frac{\alpha}{2}};\ \ \overline{X}_{n}+ \frac{S}{\sqrt{n}}\cdot t_{n-1, \frac{\alpha}{2}} \right)}\)
Interpretując przedział ufności dla średniej z populacji jako estymator średniej \(\displaystyle{ \pm}\) margines błędu d , możemy zapisać:
\(\displaystyle{ d = \frac{S}{\sqrt{n}}\cdot t_{n-1, \frac{\alpha}{2}} \ \ (1)}\)
Z (1)
\(\displaystyle{ n = \frac{S}{d^2}\cdot t_{n-1, \frac{\alpha}{2}} \ \ (2)}\)
Proszę obliczyć odchylenie standardowe z próby pilotażowej \(\displaystyle{ S.}\)
Kwantyl rozkładu Studenta rzędu \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}= 0,025}\) z \(\displaystyle{ n-1 =15-1 = 14}\) stopniami swobody z tablicy rozkładu lub na przykład programu komputerowego na przykład \(\displaystyle{ R.}\)
Uwzględnić \(\displaystyle{ d = 0,5.}\)
Obliczyć ze wzoru (2) wartość \(\displaystyle{ n}\) - minimalnej liczebności próby brzóz.
Zakładamy, że \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2},..., X_{n}}\) jest próbą prostą o nieznanej średniej i rozkładzie \(\displaystyle{ N(m, \sigma^2).}\) Nieznaną wartość \(\displaystyle{ \sigma}\) szacujemy za pomocą odchylenia standardowego z próby.
Do konstrukcji przedziału wykorzystujemy zmienną losową:
\(\displaystyle{ T = \frac{\sqrt{n}(\overline{X} - \mu)}{S}}\)
Ta zmienna ma rozkład Studenta z \(\displaystyle{ (n-1)}\) stopniami swobody, więc
\(\displaystyle{ Pr \left(- t_{n-1, \frac{\alpha}{2}} \leq {\frac{\sqrt{n}(\overline{X} - \mu)}{S} \leq t_{n-1, \frac{\alpha}{2}} \right) = 1- \alpha}\)
Stąd otrzymujemy przedział ufności dla średniej:
\(\displaystyle{ \left( \overline{X}_{n}- \frac{S}{\sqrt{n}}\cdot t_{n-1, \frac{\alpha}{2}};\ \ \overline{X}_{n}+ \frac{S}{\sqrt{n}}\cdot t_{n-1, \frac{\alpha}{2}} \right)}\)
Interpretując przedział ufności dla średniej z populacji jako estymator średniej \(\displaystyle{ \pm}\) margines błędu d , możemy zapisać:
\(\displaystyle{ d = \frac{S}{\sqrt{n}}\cdot t_{n-1, \frac{\alpha}{2}} \ \ (1)}\)
Z (1)
\(\displaystyle{ n = \frac{S}{d^2}\cdot t_{n-1, \frac{\alpha}{2}} \ \ (2)}\)
Proszę obliczyć odchylenie standardowe z próby pilotażowej \(\displaystyle{ S.}\)
Kwantyl rozkładu Studenta rzędu \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}= 0,025}\) z \(\displaystyle{ n-1 =15-1 = 14}\) stopniami swobody z tablicy rozkładu lub na przykład programu komputerowego na przykład \(\displaystyle{ R.}\)
Uwzględnić \(\displaystyle{ d = 0,5.}\)
Obliczyć ze wzoru (2) wartość \(\displaystyle{ n}\) - minimalnej liczebności próby brzóz.