Cześć, mam takie zadania na studiach. Ktoś pomógłby jak obliczyć wagi statystyczne?
Rozumiem, że najpierw muszę obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \pi_{i}}\) wzięcia udziału w ankiecie dla 4 rodzajów obserwacji, a po obliczeniu wag \(\displaystyle{ w_{i} = \frac{1}{\pi_{i}}}\), obliczyć średnią ważoną z dochodów, jednakże zatrzymałem się przy tych prawdopodobieństwach.
Zadanie:
W pewnej populacji jest dwa razy więcej kobiet niż mężczyzn. Wiadomo też, że dwa razy więcej ludzi mieszka na wsi niż w miastach, przy czym rozkład płci jest jednakowy w miastach i na wsi. Średnio (tj. w miastach i wsiach łącznie) kobiety odmawiają udziału w badaniu w 60% przypadków, a mężczyźni w 40% przypadków. Ponadto wiadomo, że mieszkańcy wsi przystępują do badania dwa razy częściej niż mieszkańcy miast.
Skonstruuj wagi statystyczne dla czterech możliwych rodzajów obserwacji (mężczyzna z miasta, mężczyzna ze wsi, kobieta z miasta, kobieta ze wsi).
Oszacuj średnie dochody w populacji używając skonstruowanych wag oraz danych pochodzących z wylosowanej próby:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|c|c|c}
\hline
Nr obserwacji & Miejsce zamieszkania & Płeć & Dochód \\
1 & Miasto & Mężczyzna & 2000 \\ \hline
2 & Miasto & Kobieta & 4000 \\ \hline
3 & Wieś & Mężczyzna & 3500 \\ \hline
4 & Wieś & Kobieta & 1500 \\ \hline
\end{tabular}}\)
Metoda reprezentacyjna - obliczanie wag statystycznych
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Metoda reprezentacyjna - obliczanie wag statystycznych
Metoda reprezentacyjna polega na uwzględnieniu tak zwanego losowania warstwowego. Obliczenie wag dla czterech obserwacji wymaga znajomości następujących prawdopodobieństw dot. tych warstw:
\(\displaystyle{ P(K) = \frac{2}{3}}\) - prawdopodobieństwo wybrania kobiety
\(\displaystyle{ Pr(M) =\frac{1}{3}}\)- [prawdopodobieństwo wybrania mężczyzny.
\(\displaystyle{ Pr(MI)= Pr(WI)=frac{1}{2}}\) prawdopodobieństwo wybrania mieszkańca miasta lub wsi.
\(\displaystyle{ Pr(O|K) = \frac{6}{10}}\) - prawdopodobieństwo odmowy przystąpienia do badania ankietowego kobiety
\(\displaystyle{ Pr(O|M) - \frac{4}{10}}\) - prawdopodobieństwo odmowy przystąpienia do badania ankietowego mężczyzny.
\(\displaystyle{ Pr(P|M) - \frac{6}{10}}\) - prawdopodobieństwo przystąpienia do badania ankietowego mężczyzny.
\(\displaystyle{ Pr(P|K) = \frac{4}{10}}\) - prawdopodobieństwo przystąpienia do badania ankietowego kobiety
\(\displaystyle{ Pr(P|MI) =\frac{1}{3}}\) - prawdopodobieństwo przystąpienia do badania przez mieszkańca miasta
\(\displaystyle{ Pr(O|MI) = \frac{2}{3}}\) prawdopodobieństwo odmowy badania ankietowego przez mieszkańca miasta
\(\displaystyle{ Pr(P|W) = \frac{2}{3}}\) - prawdopodobieństwo przystąpienia do badania przez mieszkańca wsi.
\(\displaystyle{ Pr(O|W) = \frac{1}{3}}\) -- prawdopodobieństwo odmowy do badania ankietowego przez mieszkańca wsi.
Obliczenie prawdopodobieństw \(\displaystyle{ \pi, \ \ i=1,2,3,4.}\)
Obserwacja 1 miasto-mężczyzna
Ze wzoru na prawdopodobieństwo zupełne (całkowite):
\(\displaystyle{ \pi_{1} = Pr(MI)\cdot Pr(P|MI) + Pr(MI)\cdotPr(O|MI) + Pr(M)\cdot Pr(P|M) + Pr(M)\cdot \\ \cdot Pr(O|M).}\)
\(\displaystyle{ \pi_{1} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}+ \frac{1}{3}\cdot \frac{6}{10}+ \frac{1}{3}\cdot \frac{4}{10}= \frac{1}{6} + \frac{2}{6} +\frac{6}{30}+ \frac{4}{30}= \frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.}\)
Podobnie obliczamy wartości prawdopodobieństw wagowych \(\displaystyle{ \p_{i}, \ \ i=2,3,4}\) dla pozostałych obserwacji.
\(\displaystyle{ P(K) = \frac{2}{3}}\) - prawdopodobieństwo wybrania kobiety
\(\displaystyle{ Pr(M) =\frac{1}{3}}\)- [prawdopodobieństwo wybrania mężczyzny.
\(\displaystyle{ Pr(MI)= Pr(WI)=frac{1}{2}}\) prawdopodobieństwo wybrania mieszkańca miasta lub wsi.
\(\displaystyle{ Pr(O|K) = \frac{6}{10}}\) - prawdopodobieństwo odmowy przystąpienia do badania ankietowego kobiety
\(\displaystyle{ Pr(O|M) - \frac{4}{10}}\) - prawdopodobieństwo odmowy przystąpienia do badania ankietowego mężczyzny.
\(\displaystyle{ Pr(P|M) - \frac{6}{10}}\) - prawdopodobieństwo przystąpienia do badania ankietowego mężczyzny.
\(\displaystyle{ Pr(P|K) = \frac{4}{10}}\) - prawdopodobieństwo przystąpienia do badania ankietowego kobiety
\(\displaystyle{ Pr(P|MI) =\frac{1}{3}}\) - prawdopodobieństwo przystąpienia do badania przez mieszkańca miasta
\(\displaystyle{ Pr(O|MI) = \frac{2}{3}}\) prawdopodobieństwo odmowy badania ankietowego przez mieszkańca miasta
\(\displaystyle{ Pr(P|W) = \frac{2}{3}}\) - prawdopodobieństwo przystąpienia do badania przez mieszkańca wsi.
\(\displaystyle{ Pr(O|W) = \frac{1}{3}}\) -- prawdopodobieństwo odmowy do badania ankietowego przez mieszkańca wsi.
Obliczenie prawdopodobieństw \(\displaystyle{ \pi, \ \ i=1,2,3,4.}\)
Obserwacja 1 miasto-mężczyzna
Ze wzoru na prawdopodobieństwo zupełne (całkowite):
\(\displaystyle{ \pi_{1} = Pr(MI)\cdot Pr(P|MI) + Pr(MI)\cdotPr(O|MI) + Pr(M)\cdot Pr(P|M) + Pr(M)\cdot \\ \cdot Pr(O|M).}\)
\(\displaystyle{ \pi_{1} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}+ \frac{1}{3}\cdot \frac{6}{10}+ \frac{1}{3}\cdot \frac{4}{10}= \frac{1}{6} + \frac{2}{6} +\frac{6}{30}+ \frac{4}{30}= \frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.}\)
Podobnie obliczamy wartości prawdopodobieństw wagowych \(\displaystyle{ \p_{i}, \ \ i=2,3,4}\) dla pozostałych obserwacji.