Sprawdzenie rzetelności monety oraz rozkład normalny

[WoWombat]

Dzień dobry, chciałbym prosić o pomoc lub wytłumaczenie poniższych zadań. Wykładowca strasznie pędzi na ćwiczeniach i nie nadążam za jego tłumaczeniem. Z góry dziękuje za każdą pomoc.

Zad 1
Chcemy sprawdzić czy moneta jest rzetelna, w tym celu rzucamy nią osiem razy, każdorazowo notując wypadnięcie orła lub reszki.
\(\displaystyle{ \cdot}\) Podaj założenia, podaj hipotezę zerową i hipotezę alternatywną
\(\displaystyle{ \cdot}\) Wyznacz rozkład próby, wyznacz obszar krytyczny dla poziomu ufności 0,05. Dla jakich wyników doświadczenia należy odrzucić hipotezę zerową.
\(\displaystyle{ \cdot}\) Przeanalizuj wyniki kilku możliwych doświadczenia np.
\(\displaystyle{ \cdot}\) Jakie błędy popełnisz przyjmując lub odrzucając hipotezę zerową

Zad 2
Według dotychczasowego stanu wiedzy skuteczność standardowej terapii wynosi 0.44. W celu sprawdzenia skuteczności nowej terapii poddano jej 200 losowo wybranych pacjentów.Okazało się, że stan 124 spośród nich się poprawił. Dla poziomu istotności 0.05 sprawdź \(\displaystyle{ H_{0}}\), że skuteczność nowego leku nie różni się od stosowanego dotychczas przy hipotezie alternatywnej - nowy lek jest skuteczniejszy od starego. Przeanalizuj założenia konieczne przy ocenie wyników doświadczenia.

[janusz47]

Zadanie 1

Test dla proporcji.

Zadanie 2

Test proporcji

Przykładowe rozwiązanie zadania pierwszego

Rzucamy osiem razy monetą.

Test dla proporcji (mała próba)


\(\displaystyle{ n = 8.}\)

\(\displaystyle{ k = 3}\) - ilość uzyskanych orłów.

Hipotezy:

\(\displaystyle{ H_{0}: p_{0} = \frac{1}{2}.}\)

\(\displaystyle{ H_{1}: p_{0} \neq \frac{1}{2}.}\)

Wartość statystyki testowej:

\(\displaystyle{ z = \frac{\frac{3}{8}-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8}}}= -\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0,7071.}\)

Obszar krytyczny testu - dwustronny (z zapisu hipotezy alternatywnej).

\(\displaystyle{ 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{0,05}{2}= 0,9975.}\)

Z tablicy dystrybuanty rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\) lub na przykład programu komputerowego R, odczytujemy wartość zmiennej \(\displaystyle{ Z}\) (kwantyla standaryzowanego rozkładu normalnego) odpowiadającą wartości \(\displaystyle{ 0,9975.}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> qnorm(0.9975)
[1] 2.807034

Bezwzględna wartość statystyki \(\displaystyle{ |z|\approx 0,7071}\) jest mniejsza od wartości krytycznej \(\displaystyle{ K \approx 2,8070,}\) więc może być prawdziwe stwierdzenie o rzetelności monety.