Rozkład chi-kwadrat, CTG

[dulrab]

Proszę o pomoc przy zadaniu:

Załóżmy, ze zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1},..., X_{25}}\) stanowią próbę prosta z rozkładu \(\displaystyle{ N \left( 0,9 \right)}\). Obliczyć:
\(\displaystyle{ P \left( \left( X_{1} \right) ^{2}+...+ \left( X_{25} \right) ^2 > 20 \right)}\)

a) korzystając z tablic rozkładu zmiennej chi-kwadrat
b) Korzystając z CTG

Ad. a) \(\displaystyle{ X_{i}, i=1,...,25}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N \left( 0,9 \right)}\), więc standaryzuję:
\(\displaystyle{ Y= \frac{X-0}{3} = \frac{X}{3}}\). Stąd \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N \left( 0,1 \right)}\).
Dalej \(\displaystyle{ Z= \frac{ \left( X_{1} \right) ^{2}}{9} + ... + \frac{ \left( X_{25} \right) ^{2}}{9}}\) ma rozkład chi-kwadrat o 25 stopniach swobody, więc
\(\displaystyle{ P \left( \left( X_{1} \right) ^{2}+...+ \left( X_{25} \right) ^2 > 20 \right) = P \left( Z> \frac{20}{9} \right) = 1-P \left( Z \le \frac{20}{9} \right) =\\=1-F \left( \frac{20}{9} \right) = 1-0 = 1}\)
Z tablic rozkładu chi-kwadrat wynika, że wartość dystrybuanty dla \(\displaystyle{ \frac{20}{9}}\) to \(\displaystyle{ 0}\). Czy jest tu gdzieś błąd?

Jak policzyć to zadanie z użyciem CTG?

[janusz47]

Tablice rozkładu \(\displaystyle{ \chi^2 \ \ (n, \alpha)}\) zawierają wartości \(\displaystyle{ a,}\) dla których:

\(\displaystyle{ Pr( Y_{n}\geq a )= \alpha.}\)

Niepotrzebne przejście na zdarzenie przeciwne.

Jeśli skorzystamy z programu komputerowego na przykład R, to wartość dokładniejsza tego bliskiego zeru prawdopodobieństwa jest równa:

Kod: Zaznacz cały

> P = pchisq(2.2,25)
> P
[1] 6.969999e-10

[dulrab]

Rozumiem, dziękuję.
A jeszcze jakaś wskazówka do tego podpunktu b) z CTG?

[janusz47]

Zapisz

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{25} X^2_{i} = 9 \sum_{i=1}^{25}\left( \frac{X_{i}- 0}{3}\right)^2}\)

i zastosuj CTG-Lindenberga-Levy.

[dulrab]

\(\displaystyle{ P((X_{1})^2 +...+(X_{25})^2>20)= \\
1-P(9 \sum_{i=1}^{25}\left( \frac{X_{i}- 0}{3}\right)^2 \le 20)=\\
1-P(\sum_{i=1}^{25}\left( \frac{X_{i}- 0}{3}\right)^2 \le \frac{20}{9})=\\
1-P(Z \le \frac{20}{9} )=\\
1-P(Z' \le \frac{ \frac{20}{9}-25 \cdot 1 }{5 \cdot \sqrt{2} }) =\\
1- \Phi ( \frac{41 \sqrt{2} }{18}) \approx 1}\)
czyli traktujemy \(\displaystyle{ (\frac{X_{i}}{3} )^2}\) jako zmienne z rozkładem chi-kwadrat o jednym stopniu swobody każda? I w CTG używamy \(\displaystyle{ E((\frac{X_{i}}{3} )^2 ) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ Var((\frac{X_{i}}{3} )^2 ) = 2?}\)
Czy to dobre rozwiązanie?

[janusz47]

Jeszcze pomnóż standaryzację prawostronną prawostronnie przez 9. Ponadto ma być \(\displaystyle{ 25 \cdot 0}\) nie \(\displaystyle{ 25\cdot 1.}\)

[dulrab]

Dziękuję