Wektor losowy

[sandra7]

Cześć Proszę, żeby ktoś wytłumaczył mi, jak robić zadania z rozkładem wektora losowego. Poniżej podrzucam, jakie mam konkretnie zadanie do zrobienia, ale byłabym nawet wdzięczna za dokładną instrukcję na innym przykładzie. Zależy mi na dokładnym zrozumieniu tego w jak najprostszej formie

Wektor losowy ma rozkład jednostajny w trójkącie o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0),(2,2),(3,1)}\).
1. Obliczyć dystrybuantę w punkcie \(\displaystyle{ (1,5;1)}\).
2. Zbadać niezależność zmiennych \(\displaystyle{ X i Y}\).
3. Wyznaczyć linię regresji zmiennej \(\displaystyle{ X}\) względem \(\displaystyle{ Y}\).

[janusz47]

1.
Wykonaj rysunek trójkąta w prostokątnym układzie współrzędnych.

2.
Określ równania prostych,w których zawierają się jego ramiona.

3.
Opisz za pomocą nierówności trójkąt \(\displaystyle{ T}\) w postaci sumy dwóch trójkątów \(\displaystyle{ T_{1}, T_{2}.}\)

4.
Oblicz pole trójkąta \(\displaystyle{ T.}\)

5.
Określ funkcję gęstości wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) jako odwrotność pola trójkąta \(\displaystyle{ T}\) dla punktów \(\displaystyle{ (x,y) \in \overline{T}}\) i \(\displaystyle{ 0}\) dla punktów \(\displaystyle{ (x,y)}\) poza jego obszarem.

6.
Oblicz wartość dystrybuanty w punkcje \(\displaystyle{ (1.5, 1)}\) jako wartość pola części obszaru trójkąta \(\displaystyle{ T}\)

\(\displaystyle{ F(1.5, 1) = Pr( X< 1.5 \ \ Y< 1)}\)

7.
Zbadaj niezależność zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X,Y)}\) jedną z dwóch metod, wyznaczając gęstości brzegowe \(\displaystyle{ f_{X}(x), f_{Y}(y)}\) lub dystrybuanty brzegowe \(\displaystyle{ F_{X}(x), F_{Y}(y).}\)

8.
Wyznacz linię regresji liniowej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) względem zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\)

\(\displaystyle{ x = \tilde{\beta} y + \tilde{\alpha}.}\)

\(\displaystyle{ \tilde{\beta} = r_{yx} \cdot \frac{s_x}{s_y}.}\)

\(\displaystyle{ \tilde{\alpha} = \overline{x} - \tilde{\beta} \overline{y}.}\)

[sandra7]

Pole trójkąta wynosi \(\displaystyle{ 2}\).

Gęstości brzegowe:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =\begin{cases} \frac{1}{3}x &x \in \left( 1,2 \right) \cup \left\{ 2\right\} \\ \frac{-2}{3}x+2 &x \in \left( 2,3 \right) \\0 &\mbox{pozostałe}\end{cases} \\
f \left( y \right) =\begin{cases}y &y \in \left( 0,1 \right) \cup \left\{ 1\right\}\\-y+2 &y \in \left( 1,2 \right) \\0 &\mbox{pozostałe}\end{cases}}\)

Wartości oczekiwane i niezależność zmiennych:
\(\displaystyle{ E \left( X \right) = \int_{1}^{2} \frac{1}{3}x ^{2} dx+ \int_{2}^{3}x \left( \frac{-2}{3}x+2 \right) dx= \frac{140}{9} \\
E \left( Y \right) = \int_{0}^{1}y ^{2}dy+ \int_{1}^{2}y \left( -y+2 \right) dy=-1 \\
E \left( XY \right) = \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{2}xydxdy+ \int_{2}^{3} \int_{1}^{2} \frac{1}{2}xydxdy= \frac{9}{4} \neq E \left( X \right) \cdot E \left( Y \right)}\)

Zatem zmienne nie są niezależne

Czy dobrze?

[janusz47]

Wygląda, że dobrze.

Pole trójkąta obliczone poprawnie.

Jaka jest gęstość łączna wektora \(\displaystyle{ (X,Y)?}\)

Proszę potwierdzić jeszcze zależność zmiennych losowych na przykład iloczynem gęstości brzegowych.

[sandra7]

Łączna gęstość wektora to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).-- 26 sie 2018, o 17:24 --

Proszę potwierdzić jeszcze zależność zmiennych losowych na przykład iloczynem gęstości brzegowych.

W jaki sposób należy to zrobić?

[janusz47]

Rozpisz w nawiasie klamrowym łączną gęstość wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y).}\)

Sprawdzamy czy zachodzi równość

\(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) = f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)?}\)

[sandra7]

A jak będzie w przypadku sprawdzania tej nierówności z przedziałami. Mnożę pierwszą linijkę gęstości x przez pierwszą linijkę gęstości y? Czy może jakoś inaczej?

[janusz47]

Tak, ich części wspólne.