Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości: \(\displaystyle{ \frac{1}{3}\left| X\right| , \left| X\right| \in (1,2) \cup \left\{ 1\right\}}\). Podać rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y= \frac{1}{X ^{2} }}\).
Pierwszy raz spotkałam tak wyrażoną zmienną Y. Będę wdzięczna za wszelką pomoc!
Rozkład zmiennej Y
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Rozkład zmiennej Y
0.
Wykorzystaj wzór na gęstość funkcji zmiennej losowej:
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = f_{X}(h^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy}h^{-1}(y)\right|\cdot I_{H(y)}}\) (0)
1.
Uwzględnij funkcję
\(\displaystyle{ h(y) = \frac{1}{x^2}}\) dla \(\displaystyle{ x\in \langle 1, 2).}\)
2.
Znajdź funkcję odwrotną \(\displaystyle{ h^{-1}(y).}\)
3.
Oblicz pierwszą pochodną funkcji \(\displaystyle{ h^{-1}(y).}\)
Podstaw 2. 3. do (0).
4.
Uwzględnij zakres zmiennej \(\displaystyle{ y}\) w indykatorze \(\displaystyle{ I_{H(y)}}\) wzoru (0).
Wykorzystaj wzór na gęstość funkcji zmiennej losowej:
\(\displaystyle{ f_{Y}(y) = f_{X}(h^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy}h^{-1}(y)\right|\cdot I_{H(y)}}\) (0)
1.
Uwzględnij funkcję
\(\displaystyle{ h(y) = \frac{1}{x^2}}\) dla \(\displaystyle{ x\in \langle 1, 2).}\)
2.
Znajdź funkcję odwrotną \(\displaystyle{ h^{-1}(y).}\)
3.
Oblicz pierwszą pochodną funkcji \(\displaystyle{ h^{-1}(y).}\)
Podstaw 2. 3. do (0).
4.
Uwzględnij zakres zmiennej \(\displaystyle{ y}\) w indykatorze \(\displaystyle{ I_{H(y)}}\) wzoru (0).
-
sandra7
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 24 sie 2018, o 17:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Politechnika Gdańska
- Podziękował: 10 razy
Rozkład zmiennej Y
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{3}x, x \in (1,2) \cup \left\{ 1\right\} \\ \frac{-1}{3}x, x \in (-2,-1,) \cup \left\{ -1\right\} \\0, pozostale \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ x _{1} = \frac{1}{ \sqrt{y} }, x \in (1,2) \cup \left\{ 1\right\}}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = \frac{-1}{ \sqrt{y} }, x\in (-2,-1,) \cup \left\{ -1\right\}}\)
Po obliczeniu pochodnych otrzymałam:
\(\displaystyle{ f(y)=\begin{cases} \frac{1}{6y ^{2} }, y \in ( \frac{1}{4},1) \cup \left\{ 1\right\} \\ 0, pozostale\end{cases}}\)
Teraz wystarczy wyznaczyć dystrybuantę na podstawie tej funkcji gęstości:
\(\displaystyle{ F _{x}(X)=\begin{cases}0, y \le \frac{1}{4}\\ \int_{0,25}^{x}\frac{1}{6y ^{2} }, y \in ( \frac{1}{4},1) \cup \left\{ 1\right\}\\ \int_{0,25}^{1} \frac{1}{6y ^{2} }, y \in (1, \infty)\end{cases}}\)
Czy poprawnie?
\(\displaystyle{ x _{1} = \frac{1}{ \sqrt{y} }, x \in (1,2) \cup \left\{ 1\right\}}\)
\(\displaystyle{ x _{2} = \frac{-1}{ \sqrt{y} }, x\in (-2,-1,) \cup \left\{ -1\right\}}\)
Po obliczeniu pochodnych otrzymałam:
\(\displaystyle{ f(y)=\begin{cases} \frac{1}{6y ^{2} }, y \in ( \frac{1}{4},1) \cup \left\{ 1\right\} \\ 0, pozostale\end{cases}}\)
Teraz wystarczy wyznaczyć dystrybuantę na podstawie tej funkcji gęstości:
\(\displaystyle{ F _{x}(X)=\begin{cases}0, y \le \frac{1}{4}\\ \int_{0,25}^{x}\frac{1}{6y ^{2} }, y \in ( \frac{1}{4},1) \cup \left\{ 1\right\}\\ \int_{0,25}^{1} \frac{1}{6y ^{2} }, y \in (1, \infty)\end{cases}}\)
Czy poprawnie?