Rozkład zmiennej Z opisującej liczbę miejsc zerowych

[Mr Marcin]

Podaj rozkład zmiennej Z opisującej liczbę dodatnich miejsc zerowych funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=(x-p) ^{2}+q}\), gdzie \(\displaystyle{ p \in (-1,2)}\), \(\displaystyle{ q \in (-2,1)}\).

Jak zabrać się za takie zadanie? Proszę o pomoc-- 22 sie 2018, o 20:42 --Może ktoś jednak ma pomysł, jak zacząć?

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ f(x)=\left( x-p\right)^2+q \ \ \to \ \ f(x)=x^2-2px+p^2+q \\ a=1, \ \ b=-2p, \ \ c=p^2+q \\
\Delta=b^2-4ac=\left( -2p\right) ^2-4\cdot1\cdot\left(p^2+q \right) = 4p^2-4p^2-4q=-4q \\ x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{2p}{1}=2p\\ x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{p^2+q}{1}=p^2+q}\)

Dwa dodatnie miejsca zerowe będą wtedy, gdy \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ x_1+x_2>0 \\ x_1\cdot x_2>0 \end{cases} \ \ \to \ \ \begin{cases} -4q>0 \ |:(-4) \\ 2p>0 \ |:2 \\ p^2+q>0 \end{cases} \ \ \to \ \ \begin{cases} q<0 \\ p>0 \\ p^2+q>0 \end{cases}}\)

Jedno dodatnie miejsce zerowe: \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta>0 \\ x_1\cdot x_2<0 \end{cases} \ \to \ \begin{cases} q<0 \\ p^2+q<0 \end{cases}}\)

Jedno dodatnie miejsce zerowe będzie też wtedy, gdy \(\displaystyle{ \begin{cases} \Delta=0 \\ x_0=\frac{-b}{2a}>0 \end{cases} \ \to \ \begin{cases} -4q=0 \\ \frac{2p}{2}>0 \end{cases} \ \to \ \begin{cases} q=0 \\ p>0 \end{cases}}\)

Brak dodatnich miejsc zerowych - w pozostałych przypadkach

[Mr Marcin]

Otrzymujemy z tego następująca gęstość :
\(\displaystyle{ f(z)=\begin{cases} 0, p \in (-1,2),q \in (0,1)\\1,p \in (0,2), q \in \left\{ 0\right\}\\2,p \in (0,2),q \in (-2,0) \end{cases}}\)

Poprawnie?

[loitzl9006]

Nie za bardzo, bo np. dla \(\displaystyle{ p=0.5, \ q=-1.5}\) mamy nie dwa, tylko jedno dodatnie miejsce zerowe.

Proponowałbym Ci narysować układ współrzędnych, nazwać oś poziomą jako \(\displaystyle{ p}\) i pionową jako \(\displaystyle{ q}\). Ze względu na \(\displaystyle{ p\in (-1,2)}\) rysujesz w tym układzie proste (pionowe) o równaniach \(\displaystyle{ p=-1, \ \ p=2}\), a ze względu na \(\displaystyle{ q\in (-2,1)}\) proste (poziome) o równaniach \(\displaystyle{ q=-2, \ \ q=1}\). Masz prostokąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (-1,-2), \ (-1,1), \ (2,1), \ (2,-2)}\).

W tym prostokącie zaznaczymy najpierw obszar, w którym funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma dwa dodatnie miejsca zerowe, czyli warunki \(\displaystyle{ \begin{cases} q<0 \\ p>0 \\ p^2+q>0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ q<0}\) to obszar poniżej osi \(\displaystyle{ p}\)
\(\displaystyle{ p>0}\) to obszar na prawo od osi \(\displaystyle{ q}\)
\(\displaystyle{ p^2+q>0}\) to inaczej \(\displaystyle{ q>-p^2}\), to obszar powyżej paraboli o równaniu \(\displaystyle{ -p^2}\). Trochę łatwiej to zrozumieć gdy \(\displaystyle{ q>-p^2}\) potraktujemy jako \(\displaystyle{ y>-x^2}\) czyli obszar powyżej paraboli \(\displaystyle{ y=-x^2}\).
Potem szukamy jeszcze punktu wspólnego paraboli \(\displaystyle{ q=-p^2}\) z prostą \(\displaystyle{ q=-2}\), czyli:
\(\displaystyle{ -2=-p^2 \ \to \ p^2=2\ \to \ p=\sqrt2}\).
Opisujemy ten obszar jako normalny względem osi \(\displaystyle{ p}\) (osi \(\displaystyle{ x}\)) albo normalny względem osi \(\displaystyle{ q}\) (osi \(\displaystyle{ y}\)) - druga opcja trochę lepsza bo nie trzeba dzielić obszarów.
Jeśli się zdecydujemy na obszar normalny względem osi \(\displaystyle{ p}\) to dostaniemy \(\displaystyle{ \begin{cases} 0<p<\sqrt2 \\ -p^2<q<1 \end{cases} \ \vee\ \begin{cases} \sqrt2<p<2 \\ -2<q<1 \end{cases}}\)
a jeśli na drugą opcję, to \(\displaystyle{ \begin{cases} -2<q<0 \\ -\sqrt q<p<2 \end{cases}}\)

Podobne rozumowanie (rysowanie prostokąta, zaznaczanie w nim obszarów) trzeba przeprowadzić dla jednego miejsca zerowego i dla braku miejsc zerowych.

Na koniec zapisać coś w stylu: \(\displaystyle{ f(z)= \begin{cases} 2 \ gdy \ \begin{cases} -2<q<0 \\ -\sqrt q<p<2 \end{cases} \\ 1 \ gdy \ ... \\ 0 \ gdy \ ... \end{cases}}\)