Rozkład zmiennej losowej Z=-X-Y

[Mr Marcin]

Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale \(\displaystyle{ (1,3)}\) , a zmienna losowa Y ma rozkład jednostajny w przedziale \(\displaystyle{ (1,4)}\). Podać rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=-X-Y}\) i obliczyć \(\displaystyle{ P(Z>-7)}\).

Z której strony ugryźć to zadanie?

[Premislav]

Bez jakichś założeń dodatkowych, np. niezależności \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), raczej się nie da.
Przy założeniu o niezależności łatwo np. z użyciem dystrybuanty uzyskać, że \(\displaystyle{ -X}\) ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ (-3,-1)}\) i podobnie z \(\displaystyle{ -Y}\), tylko \(\displaystyle{ (-4,-1)}\).
Dalej można użyć splotu, funkcji charakterystycznych lub funkcji tworzących momenty, w zależności od preferencji. Generalnie gęstość sumy niezależnych zmiennych losowych o rozkładach ciągłych to splot gęstości. Ja polecam akurat tutaj splot, ponieważ nie wiem, czy tak bym zgadł po funkcji charakterystycznej (funkcja charakterystyczna sumy skończenie wielu niezależnych zmiennych losowych to iloczyn funkcji charakterystycznych), jaki to rozkład ma ta suma.

[Mr Marcin]

Dla \(\displaystyle{ f _{1}(x)}\): \(\displaystyle{ \frac{-1}{2} , x \in (-3,-1)}\), dla pozostałych x funkcja przyjmuje wartość 0.
Dla \(\displaystyle{ f _{2}(y)}\): \(\displaystyle{ \frac{-1}{3}, y \in (-4,-1)}\), dla pozostałych y funkcja przyjmuje wartość 0.

Zatem funkcja nowej gęstości ma się następująco: \(\displaystyle{ k _{z}(z)= \int_{-3}^{-1}-0,5 \cdot (z+0,5)dx=-z+ \frac{1}{2}, x \in (-3,-1), y \in (-4,-1)}\), dla pozostałych x,y funkcja przyjmuje wartość 0.

Czy to jest poprawne rozumowanie? I w jaki sposób wyznaczyć teraz rozkład zmiennej Z?

Przy założeniu o niezależności łatwo np. z użyciem dystrybuanty uzyskać, że \(\displaystyle{ -X}\) ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ (-3,-1)}\) i podobnie z \(\displaystyle{ -Y}\), tylko \(\displaystyle{ (-4,-1)}\).

Jak wykazać taką prawidłowość?

[Premislav]

Oj, to jest zupełnie źle. Gęstość ma być wszak nieujemna (dodatnia na nośniku) i całkować się do \(\displaystyle{ 1}\). Widocznie za rzadko czytasz Pismo Święte.

\(\displaystyle{ \mathbf{P}(-X\le -t)=\mathbf{P}(X\ge -t)=1-\mathbf{P}(X<-t)=\\=1-\mathbf{P}(X\le -t)=\\= \begin{cases}0 \text{ gdy } t\le -3 \\ 1+ \frac{t+1}{2} \text{ gdy } -3<t<-1\\ 1\text{ gdy }t\ge -1 \end{cases}}\)
i podobnie z \(\displaystyle{ -Y}\), nie ma sensu, żebym pisał dwa razy prawie to samo.
Gęstość na przedziale \(\displaystyle{ (-3,-1)}\) wyznaczasz, różniczkując powyżej otrzymaną dystrybuantę, no i stąd dostajesz, że gęstość rozkładu \(\displaystyle{ -X}\) to
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac 1 2 \text{ dla } -3<x<-1\\ 0 \text{ elsewhere }\end{cases}}\)
i podobnie gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ -Y}\) to
\(\displaystyle{ g(y)= \begin{cases} \frac{1}{3} \text{ dla } -4<y<-1\\ 0 \text{ elsewhere } \end{cases}}\)

Gęstość sumy tych zmiennych losowych jest splotem ich gęstości, czyli jest postaci
\(\displaystyle{ h(z)= \int_{\RR}^{}f(z-y)g(y) \,\dd y=\\= \int_{\RR}^{}\frac 1 2 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(-3, -1)}(z-y)\cdot \frac 1 3 \ 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(-4,-1)}(y) \,\dd y}\)
i teraz musimy zweryfikować, kiedy spełniony jest układ warunków:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -4<y<-1 \\ -3<z-y<-1 \end{cases}}\)
Najlepiej narysować sobie taki obszar w kartezjańskim układzie współrzędnych, wygodniej bowiem sparametryzować go tak, żeby to \(\displaystyle{ y}\) uzależnić od \(\displaystyle{ z}\) przebiegającego określony zakres, a nie na odwrót.
Dla \(\displaystyle{ z\in (-7,-5)}\) zmienna \(\displaystyle{ y}\) zmienia się od \(\displaystyle{ -4}\) do \(\displaystyle{ 3+z}\),
dla ustalonego \(\displaystyle{ zin [-5, -4)}\), \(\displaystyle{ y}\) przebiega wartości od \(\displaystyle{ 1+z}\) do \(\displaystyle{ 3+z}\), natomiast dla \(\displaystyle{ zin [-4,-2) , y}\) zmienia się od \(\displaystyle{ 1+z}\) do \(\displaystyle{ -1}\).
Otrzymujemy takie całki (stałą wyciągamy przed całkę z liniowości itd.):
\(\displaystyle{ frac 1 6 left(1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(-7,-5)}(z) int_{-4}^{3+z} ,dd y+ 1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{[-5,-4)}(z) int_{1+z}^{3+z} ,dd y+1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{[-4,-2)}(z) int_{1+z}^{-1} ,dd y
ight)=\=frac{7+z}{6}1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{(-7,-5)}(z)+frac 1 3 1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{[-5,-4)}(z)-frac{2+z}{6} 1{hskip -2.5 pt}hbox{l}_{[-4,-2)}(z)}\)
i to jest nasza szukana gęstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=-X-Y}\).
Jak nie jesteś zbytnio zaprzyjaźniony z indykatorami (które ładnie skracają zapis i w ogóle są zgrabne), to można to też napisać tak:
\(\displaystyle{ h(z)= \begin{cases}\frac{7+z}{6} \text{ gdy } -7<z<-5 \\\frac 1 3\text{ gdy } -5\le z<-4 \\-\frac{2+z}{6} \text{ gdy } -4\le z<-2 \\ 0 \text{ elsewhere } \end{cases}}\)

Twój stan wiedzy jest dramatyczny (bez urazy), na forum się wszystkiego nie nauczysz (raczej). W każdym razie ja nie zamierzam Ci wykładać wszystkiego za darmo od podstaw.
Polecane książki (biorąc pod uwagę to, że masz jednocześnie robić zadania ze statystyki i nie wiesz, co to jest gęstość, sądzę, że to kierunek techniczny czy pokrewny, w związku z tym pomijam takie rzeczy, jak bardziej teoretyczna pozycja Jakubowskiego i Sztencla, czy prześwietna, ale w mojej opinii trudna i zahaczająca o zupełnie niepotrzebne Ci rzeczy książka Billingsleya Prawdopodobieństwo i miara):
Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego,
Włodzimierz Krysicki i inni, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, na razie cz. I, potem i II.
Była też książka profesora Kubika, ale już nie mam egzemplarza. Jak masz jakieś notatki czy skrypt, to też oczywiście przeglądnij.

[Mr Marcin]

\(\displaystyle{ \mathbf{P}(-X\le -t)=\mathbf{P}(X\ge -t)=1-\mathbf{P}(X<-t)=\\=1-\mathbf{P}(X\le -t)=\\= \begin{cases}0 \text{ gdy } t\le -3 \\ 1+ \frac{t+1}{2} \text{ gdy } -3<t<-1\\ 1\text{ gdy }t\ge -1 \end{cases}}\)

Jedno małe pytanko; czy nie powinno być już na samym początku \(\displaystyle{ P(-X \le t)}\) ?

[Premislav]

A, sorry, powinno być. Nie wiem, skąd mi się ten minus wziął.