Rozkład mieszany zmiennej losowej

[Mr Marcin]

Cześć Bardzo proszę o pomoc z zadaniem. Nie wiem, jak się za nie zabrać, pokonuje mnie już sama całka na początku Wiem, że trzeba ją doprowadzić do całki z rozkładu normalnego, ale nie mam pojęcia, jak...

\(\displaystyle{ P _{x}= 0,2\delta _{-1}+0,3\delta _{2} +f \cdot l}\) , gdzie \(\displaystyle{ f(x)= \frac{a \cdot e ^{-0,25 \cdot x ^{2} } }{ \sqrt{2 \cdot \pi} }}\)

a)Wyznaczyć wartość parametru \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ F _{x}}\)
b)Obliczyć moment zwykły rzędu trzeciego, medianę i \(\displaystyle{ P(\left| X\right| \le 2 \setminus X \ge -1)}\)
c)wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y, gdzie \(\displaystyle{ Y=g(X)=\left| X\right| -2}\)

[janusz47]

Co to jest \(\displaystyle{ l ?}\)

[Mr Marcin]

Oznaczenie całki Lebesgue'a

[janusz47]

Pierwszy raz spotykam się z takim zapisem.-- 16 sie 2018, o 19:13 --Aby funkcja \(\displaystyle{ P(X)}\) była rozkładem mieszanym zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) musi zachodzić równość:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{2}^{\infty} a\cdot e^{-\frac{x^2}{4}}dx = 0,5.}\)

[Mr Marcin]

A jak najłatwiej poradzić sobie z tą skomplikowaną całką?

Dlaczego granice tej całki to od \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ \infty}\) ?

[janusz47]

Bo z dyskretnej części rozkładu mieszanego ostatnią wartością jest prawdopodobieństwo zdarzenia:

\(\displaystyle{ Pr(\{X =2\}) = 0,3.}\)

Podstaw \(\displaystyle{ \frac{x}{2}:= t.}\)

[Mr Marcin]

A mógłbym jeszcze poprosić o ostateczny wynik tej całki, bo strasznie się zagmatwałem w swoich obliczeniach?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_{1}^{\infty} e^{-t^2}dt = 0,5.}\)

\(\displaystyle{ \frac{2a\cdot erfc(1)}{2\sqrt{2}}= \frac{1}{2}.}\)

\(\displaystyle{ a\cdot erfc(1) = \frac{\sqrt{2}}{2}.}\)

\(\displaystyle{ a \approx 4,4953.}\)

[Mr Marcin]

Moja dystrybuanta przyjmuje następujące wartości:
\(\displaystyle{ 0, x \le -1}\)
\(\displaystyle{ 0,2 , x \in (-1,2\right\rangle) \cup \left\{ 2\right\}}\)
\(\displaystyle{ 0,2+0,3+ \int_{2}^{ \infty } \frac{4,5 \cdot e ^{-0,25x ^{2} } }{ \sqrt{2\pi} }=1, x \in (2, \infty )}\)

b) Rozwiązuję dla X nierówność z modułem i otrzymuję \(\displaystyle{ X \in (-2,2)}\).
Następnie biorę pod uwagę, że \(\displaystyle{ X \in (-1, \infty )}\).
Zatem \(\displaystyle{ X \in (-1,2)}\).
Czyli szukane prawdopodobieństwo to tak naprawdę: \(\displaystyle{ F(2)-F(-1)=0,2-0=0,2}\)

Moment zwykły rzędu trzeciego:
\(\displaystyle{ x _{0} =0}\)
Czyli tak właściwie szukam: \(\displaystyle{ E(X ^{3})}\)

Czy poprawnie rozumuję?
Jak to teraz dokończyć? I jak znaleźć medianę?

[janusz47]

Dystrybuantę obliczyłeś poprawnie.

\(\displaystyle{ E(X^{3}) = 0,2^{3}\cdot (-1) + 0,3^{3}\cdot 2 + 0,5^{3}\cdot E( X_{c})}\),

gdzie:

\(\displaystyle{ E(X_{c})}\) jest wartością oczekiwaną rozkładu ciągłego.


Mediana - jest to taka wartość argumentu \(\displaystyle{ x_{0,5},}\) dla której dystrybuanta:

\(\displaystyle{ F(x_{0,5}) = Pr( X < x_{0}) = 0,5.}\)

[Mr Marcin]

Czyli będzie tak?
\(\displaystyle{ E\left( X _{c} \right)= \int_{2}^{ \infty } x \cdot \frac{4,5 \cdot e ^{-0,25x ^{2} } }{ \sqrt{2\pi} }dx= \frac{-9(1-erfc(1))+9}{2 \sqrt{2\pi} } \approx 0,500523}\)

A mediana:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \int_{2}^{x _{0} } \frac{4,5 \cdot e ^{-0,25x ^{2} } }{ \sqrt{2\pi}}}\)

[janusz47]

Tak jest.

[M Tylda]

Żeby nie zakładać już nowego tematu, czy mogłabym prosić, żeby ktoś wytłumaczył mi, jak zrobić taki rozkład? Byłabym bardzo wdzięczna

c)wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y, gdzie \(\displaystyle{ Y=g(X)=\left| X\right| -2}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ Y=g(X)=\left| X\right|-2}\)

Uwzględniamy funkcję:

\(\displaystyle{ y = |x| - 2}\)

Funkcja odwrotna:

\(\displaystyle{ x = \begin{cases} x_{1}= -y+2 \ \ \mbox{dla} \ \ y <0 \\ x_{2}= y +2 \ \ \mbox{dla} \ \ y > 0 \end{cases}.}\)

\(\displaystyle{ g'(x_{1}) = -1, \ \ g'(x_{2}) = 1.}\)

Stąd i ze wzoru ogólnego na funkcję gęstości zmiennej losowej:

\(\displaystyle{ f_{Y} = [ f_{X}(-y+2) + f_{X}(y+2}] I_{y\in(0, \infty)}.}\)

Dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\):

\(\displaystyle{ F_{Y}(y) = Pr( Y\leq y) = Pr(|X|-2 \leq y) = Pr( -y +2 \leq X \leq y+2)=\\ = F_{X}(y+2) - F_{X}(-y+2)}\)

dla \(\displaystyle{ y> 0.}\)
i
\(\displaystyle{ F_{Y}(y) =0}\) dla \(\displaystyle{ y< 0.}\)

[M Tylda]

Dziękuję za odpowiedź

A czy mogłabym jeszcze poprosić o wyjaśnienie, czemu tak właściwie należało obliczyć te pochodne?
I w jaki sposób dochodzi się do dystrybuanty w takiej postaci, bo nie do końca zrozumiałam trzecie przejście, w którym \(\displaystyle{ Pr(-y+2 \le X \le y+2)}\)