Przedział ufności

[kranczips]

Cześć! Słuchajcie, proszę Was o pomoc, bo już nie mogę sobie z tym poradzić.
To zadanie polega na tym, żeby odpowiedzieć czy dany podpunkt do Prawda czy Fałsz, ale też wyjaśnić dlaczego.

Rozkład czasu dojazdu do pracy pracowników pewnego zakładu jest rozkładem normalnym. Spośród pracowników zakładu wylosowano 100 osób, dla których średni czas dojazdu wyniósł 40 min, a odchylenie standardowe w wylosowanej próbie wyniosło 0,5.
a) W celu ustalenia przedziału ufności dla średniego czasu dojazdu w populacji generalnej można wykorzystać wzór 3 z poniższej tabeli.
b) W celu ustalenia przedziału ufności dla średniego czasu dojazdu w populacji generalnej można wykorzystać wzór 1 z poniższej tabeli.
c) Jeżeli przyjmiemy współczynnik ufności 1- alpha , to przedział ufności dla średniej będzie (32,16; 47,84)
d) Długość przedziału ufności przy współczynniku ufności 1- alpha wynosi 7,84
e) Populacja generalna w tym zakładzie składa się z dokładnie 100 osób.

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c|c}
\hline
Parametr & Przedział ufności & Opis\\ \hline
średnia m & \overline {X} -u _{\alpha} \frac{\sigma}{ \sqrt{n} } < m < \overline {X} +u _{\alpha} \frac{\sigma}{ \sqrt{n} } & X \sim N(m, \sigma), \sigma - znane \\ \hline
średnia m & \overline {X} -t _{\alpha,n-1} \frac{S}{ \sqrt{n} } < m < \overline {X} +t _{\alpha,n-1} \frac{S}{ \sqrt{n} } & X \sim N(m, \sigma), \sigma - nieznane \\ \hline
średnia m & \overline {X} -u _{\alpha} \frac{S}{ \sqrt{n} } < m < \overline {X} +u _{\alpha} \frac{S}{ \sqrt{n} } & n \ge 30 \\ \hline
\end{tabular}}\)

To co udało mi się zrobić, chociaż nie jestem pewna, że na 100% dobrze to:
a) Fałsz. Bo nie wiemy jakie jest S.
b) Prawda. Bo znamy sigme, jest to rozkład normalny, i n jest większe od 30.
e) Fałsz. Bo spośród pracowników zakładu wylosowano 100, więc jest ich więcej w zakładzie.
A za c i d, nie wiem jak się zabrać.

[janusz47]

Dane:

Rozkład (cechy) populacji:

\(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}(m ;\sigma) \sim \mathcal{N}(40; \sigma)}\) - \(\displaystyle{ \sigma}\) - nieznane.

Liczność próby:

\(\displaystyle{ n = 100.}\)

Obustronny przedział ufności dla średniego czasu dojazdu pracowników pewnego zakładu:

\(\displaystyle{ Pr\left( 40 - \frac{S\cdot u_{\alpha}}{\sqrt{99}}\leq m \leq 40 + \frac{S\cdot u_{\alpha}}{\sqrt{99}}\right) = 1 - \alpha}\) (1)

Kwantyl rzędu alfa \(\displaystyle{ u_{\alpha}}\) standaryzowanego rozkładu normalnego dla przedziału dwustronnego obliczamy z równania:

\(\displaystyle{ u_{\alpha} = \phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right).}\)

-- 8 lip 2018, o 18:02 --

a. prawda, bo \(\displaystyle{ \sigma}\) jest nieznane

b. fałsz - patrz tabela i (1)

c. \(\displaystyle{ 40 - d \leq m \leq 40 +d}\)

\(\displaystyle{ 40 - d = 32,16 \wedge 40+ d = 47,84}\)

\(\displaystyle{ d = 40-32,16 = 7,84 \wedge 40 +7,84 = 47,84.}\) - prawda.

d. fałsz, bo długość przedziału ufności jest równa:

\(\displaystyle{ 40 + d - 40 + d = 2d = 2\cdot 7,84 = 15,68.}\)

e. fałsz - próba (nie populacja generalna) wybrana z populacji generalnej pracowników pewnego zakładu składa się ze \(\displaystyle{ 100}\) osób.

[kranczips]

"a odchylenie standardowe w wylosowanej próbie wyniosło 0,5" - a czy to nie jest sigma ? czyli N(40, 0,5)?

Aa, już wiem. Bo to jest odchylenie w próbie, a nie populacji. Wszystko jasne. Dziękuje bardzo za pomoc!