Obliczanie wartości oczekiwanej i wariancji

[matwoj9696]

Rozkład statystyk porządkowych - przypadek rozkładu jednostajnego na przedziale \(\displaystyle{ (0,\theta)}\). Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ X_{1},...,X_{n}}\) mają rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ (0,\theta)}\) tzn. ich gęstość dana jest wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{\theta} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,\theta)} (x)}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ f_{{x}_{i}} (x)=\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!} \frac{1}{\theta^n} x^{i-1} (\theta-x)^{n-1}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,\theta)} (x) ,x \in \mathbb{R}}\)
Wykazać że
\(\displaystyle{ \mathbb{E}[X_i]=\frac{i\theta}{n+1}}\) , \(\displaystyle{ Var[X_i]=\frac{i(n-i+1)\theta^2}{(n+1)^2(n+2)}}\)

Więc aby policzyć wartość oczekiwaną trzeba policzyć taką całkę gdzie n,i są ustalonymi liczbami naturalnymi, \(\displaystyle{ i\leq n}\) oraz \(\displaystyle{ \theta}\) jest parametrem. \(\displaystyle{ \int_0^\theta x^i (\theta - x)^{n-i} dx}\).
Skorzystałem ze wzoru dwumianu Newtona i wyszło mi coś takiego.
\(\displaystyle{ \int_0^\theta x^i (\theta + (-x))^{n-i}=\int_0^\theta x^i \sum_{k=0}^{n-i}{n-i \choose k} \theta^{n-i-k} (-x)^k}\) i nie mam pojęcia co dalej zrobić, pomóżcie plisss.

[squared]

Sumę z całką można zamienić kolejnością.

[Premislav]

Nie wgłębiałem się w rachunki, bo nie bardzo mam czas, ale zakładając, że wykonałeś je poprawnie, to tę całkę:
\(\displaystyle{ \int_0^\theta x^i (\theta - x)^{n-i} dx}\)
szybciej można policzyć, podstawiając \(\displaystyle{ x=\theta \cdot t, \ t \in [0,1]}\)
co sprowadzi tę całkę do

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_%CE%92

.