ARMA - stacjonarność

[naciunia7]

Nie wiem czy odpowiedni dział, z góry przepraszam.

Mam zadanie by zbadać stacjonarność procesu ARMA. Wiem w teorii, że należy zbudować wielomian chrakterystyczny, policzyć pierwiastki i jak są większe co do wart. bezwgl. od 1 to proces jest stacjonarny.
Mam jednak problem u podstaw, bo nie bardzo wiem jak buduje się ten wielomian charakterystyczny. Mógłby ktoś pokazać mi na przykładzie?

Weźmy taki przykład \(\displaystyle{ Y_{t}=Y_{t-1}- \frac{1}{4} Y_{t-2}+ \epsilon_{t}-2 \epsilon_{t-1}}\)
(przykład totalnie losowy, po prostu żeby zrozumieć regułę)

[leg14]

Według ciebie proces \(\displaystyle{ X_t = 2X_{t-1} + Z_t}\) nie jest stacjonarny?

Jeżeli \(\displaystyle{ X_t - a_1 X_{t-1} -...-a_p X_{t-p} = Z_t + ...+b_q Z_t}\)
to chyba Twoim ,,wielomianem charakterystycznym" jest \(\displaystyle{ 1 -a_1 x - a_2 x^2 -..-a_p x^p}\)

[naciunia7]

Według ciebie proces \(\displaystyle{ X_t = 2X_{t-1} + Z_t}\) nie jest stacjonarny?

Jeżeli \(\displaystyle{ X_t - a_1 X_{t-1} -...-a_p X_{t-p} = Z_t + ...+b_q Z_t}\)
to chyba Twoim ,,wielomianem charakterystycznym" jest \(\displaystyle{ 1 -a_1 x - a_2 x^2 -..-a_p x^p}\)

No moim zdaniem nie jest. Ogólnie dla AR chyba wiem jak liczyć, czyli po prostu mam zignorować tą część MA, policzyć tylko dla AR, bo MA i tak jest zawsze stacjonarny? Chociaż być może gadam głupoty, bo próbuję sobie to jakoś wytłumaczyć "po swojemu"

[leg14]

No moim zdaniem nie jest

Otóż jest.

Jeśli proces możesz zapisać jako \(\displaystyle{ \sum_{- \infty }^{+ \infty } \gamma_{j} Z_{j+t}}\) (*), gdzie Z to tak zwany white noise, to jest to proces stacjonarny.

Mając dany jakiś proces ARMA:
\(\displaystyle{ \Phi(B)X_t = \Gamma(B)Z_t}\)
Możesz to sobie (formalnie) przekstzałcić do
\(\displaystyle{ X_t = \frac{\Gamma(B)}{\Phi(B)} Z_t}\)

Jeśli jakimś cudem \(\displaystyle{ \frac{\Gamma(z)}{\Phi(z)}}\) da się rozpisać jako szereg Laurenta zbieżny w kole jednostkowym, to \(\displaystyle{ X_t}\) ma postać (*), a zatem jest stacjonarny.