Estymatory parametru m

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
zelek17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 3 maja 2018, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 5 razy

Estymatory parametru m

Post autor: zelek17 »

Niech \(\displaystyle{ X_1,X_2, X_3,X_4}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie zmienną wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ m}\) i wariancją. Rozważamy trzy estymatory parametru \(\displaystyle{ m}\):
\(\displaystyle{ m_1= \frac{1}{6} X_1 + \frac{1}{6} X_2 + \frac{2}{3} X_3}\) ,
\(\displaystyle{ m_2= \frac{1}{5} X_1 + \frac{2}{5} X_2 + \frac{2}{5} X_3}\) ,
\(\displaystyle{ m_3= \frac{1}{3} X_1 + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{3} X_3}\) .
Który z estymatorów jest nieobciążony? Który z nich jest najlepszy?

Zgodnie z Wiki
Estymator jest nieobciążony, jeśli wartość oczekiwana rozkładu estymatora jest równa wartości szacowanego parametru.
Najpierw biorę zbiór \(\displaystyle{ {1,2,3}}\) jako \(\displaystyle{ {X_1,X_2,X_3}}\) i obliczam wartość estymatorów.
\(\displaystyle{ m_1=2,5}\)
\(\displaystyle{ m_2=2,2}\)
\(\displaystyle{ m_3=2}\)
Co dalej? Jeśli patrzeć na definicję, nie mam wartości oczekiwanej (\(\displaystyle{ m}\)) i nie mogę porównać.

W przypadku wyboru najlepszego z nich, porównuję wariancję. Ten, który ma mniejsza wariancję, ten lepszy. Jak wyliczyć wariancję nie mając odchylenia ani jakiejkolwiek innej danej?
Ostatnio zmieniony 3 maja 2018, o 20:58 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . W Polsce separatorem dziesiętnym jest przecinek, a nie kropka. Błędy językowe.
Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Estymatory parametru m

Post autor: leg14 »

A jak wyliczyłeś wartość oczekiwaną bez wartości oczekiwanej ani żadnej innej danej (źle jąobliczyłeś nawiasem mówiąc)?
zelek17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 3 maja 2018, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 5 razy

Estymatory parametru m

Post autor: zelek17 »

@squared dziękuję za wskazówki

Najpierw sprawdzam czy estymatory są nieobciążone.
Dla \(\displaystyle{ m_1}\)

\(\displaystyle{ \EE m_1=\EE\left( \frac{1}{6} X_{1} + \frac{1}{6} X_{2} + \frac{2}{3} X_{3}\right) = \frac{1}{6} \EE X_{1} + \frac{1}{6} \EE X_{2} + \frac{2}{3} \EE X_{3}=\\=\frac{1}{6} \EE \xi + \frac{1}{6} \EE \xi + \frac{2}{3} \EE \xi=\EE \xi=m}\)

Dla \(\displaystyle{ m_2}\)
\(\displaystyle{ \EE m_2=\EE\left( \frac{1}{5} X_{2} + \frac{2}{5} X_{2} + \frac{2}{5} X_{2}\right) = \frac{2}{5} \EE X_{2} + \frac{1}{5} \EE X_{2} + \frac{2}{5} \EE X_{2}=\\=\frac{3}{5} \EE \xi + \frac{2}{5} \EE \xi + \frac{2}{2} \EE \xi=\EE \xi=m}\)

Również w przypadku \(\displaystyle{ m_3}\) jest on nieobciążony.

Skoro wszystkie estymatory są nieobciążone to należy policzyć: \(\displaystyle{ D^2m_1, D^2m_2, D^2m_3}\) w analogiczny sposób jak wartość oczekiwaną (korzystając oczywiście z odpowiednich własności wariancji). Najlepszy estymator to ten z najmniejszą wariancją.

Własność wariancji, którą zastosuje:

\(\displaystyle{ Var(m) = Em ^{2}}\)\(\displaystyle{ (Em) ^{2}}\)

Dla \(\displaystyle{ (Em) ^{2}}\) wynosi \(\displaystyle{ m ^{2}}\), co w przypadku \(\displaystyle{ Em ^{2}}\) ?
Ostatnio zmieniony 5 maja 2018, o 16:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie dubluj tematów. Poprawa wiadomości.
Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Re: Estymatory parametru m

Post autor: Pakro »

Przyjmij sobie, że wariancja (lub drugi moment) to jakaś \(\displaystyle{ \sigma >0}\). Wtedy będziesz w stanie to porównać.
zelek17
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 3 maja 2018, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 5 razy

Estymatory parametru m

Post autor: zelek17 »

Nic mi to nie mówi, możesz coś więcej rozpisać?
Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Re: Estymatory parametru m

Post autor: Pakro »

Przyjmij, że \(\displaystyle{ D^2 X_i = \sigma}\) i policz
\(\displaystyle{ D^2(m_1)=\frac{1}{36} \sigma + \frac{1}{36} \sigma +\frac{4}{9} \sigma}\).
Skorzystałem tu z faktu, że liczbę spod wariancji wyciągamy z kwadratem i faktu, że zmienne \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne czyli są nieskorelowane.
SlotaWoj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 758 razy

Re: Estymatory parametru m

Post autor: SlotaWoj »

Pakro pisze:Przyjmij, że \(\displaystyle{ D^2 X_i = \sigma}\)
Ma być:
  • \(\displaystyle{ D^2 X_i = \sigma^\textbf{2}}\)
ODPOWIEDZ