Pokazać, że estymator mk,n jest nieobciążonym estymatorem

[aspirynC]

Witam, czy mógłbym prosić o pomoc w rozwiązaniu ?

Niech \(\displaystyle{ \underline{X}_{n} = (X_{1},X_{2},...,X_{n})}\) będzie próbą prostą z populacji, w kórej cecha \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową o dystrybuancie \(\displaystyle{ F}\) i skończonym momencie rzędu \(\displaystyle{ k, m_{k} = EX^{k}}\). Określmy estymator parametru \(\displaystyle{ m_{k}, \hat{m}_{k,n}}\) - \(\displaystyle{ k}\)-ty moment próbkowy , jako

\(\displaystyle{ \hat{m}_{k,n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{k}.}\)

Pokazać, że estymator \(\displaystyle{ \hat{m}_{k,n}}\) jest nieobciążonym estymatorem parametru \(\displaystyle{ m_{k}}\). Wykorzystując mocne prawo wielkich liczb, pokazać, że \(\displaystyle{ \hat{m}_{k,n}}\) jest mocno zgodnym estymatorem parametru \(\displaystyle{ m_{k}}\).

[Premislav]

To jest proste zadanie. To, że estymator jest nieobciążony znaczy, że jego wartość oczekiwana równa jest estymowanemu parametrowi. Czyli należy pokazać, że gdy \(\displaystyle{ X, \ X_i}\) j.w. to
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{k}\right) =\mathbf{E}(X^k)}\), a to wystarczy skorzystać z liniowości wartości oczekiwanej.

W drugiej części powinno pomóc następujące twierdzenie, które pochodzi od Kołmogorowa (tak przynajmniej podali w swojej książce Panowie Jakubowski i Sztencel):
jeśli \(\displaystyle{ (X_n)_{n=1}^{\infty}}\) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie oraz \(\displaystyle{ \mathbf{E}|X_1|<\infty}\), to ciąg \(\displaystyle{ (X_n)}\) spełnia mocne prawo wielkich liczb. Stosujesz to twierdzenie do ciągu \(\displaystyle{ (X_n^k)_{n=1}^{\infty}}\).
Mocna zgodność to zbieżność prawie na pewno.