Dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład o gęstości:
\(\displaystyle{ $$ y = \left\{ \begin{array}{ll} 0,2(x+2y) & 0 \le x \le 1 \wedge 0 \le y \le 2 \\ 0 & p.p \end{array} \right.}\)
Wyznacz równanie regresji 1 rodzaju zmiennej \(\displaystyle{ X}\) względem \(\displaystyle{ Y}\).
Moja odpowiedź:
Rozkłady brzegowe:
\(\displaystyle{ f_x(x)= \int_{0}^{2}(0,2x+0,4y) \mbox{d}y= 0,2x\int_{0}^{2}1 \mbox{d}y + 0,4\int_{0}^{2}y \mbox{d}y=0,4x+0,8}\)
\(\displaystyle{ f_y(y)= \int_{0}^{1}(0,2x+0,4y) \mbox{d}x =0,4y+0,1}\)
Krzywa regresji 1 stopnia:
\(\displaystyle{ X}\) względem \(\displaystyle{ Y}\):
\(\displaystyle{ E(X|Y=y)= \frac{1}{0,4y+0,1} \int_{0}^{1}(0,2x^2+0,4xy) \mbox{d}x=\\
=\frac{1}{0,4y+0,1}(0,06+0,2y)=\frac{0,06+0,2y}{0,4y+0,1}}\)
Dobrze to zrobiłem?