Estymator największej wiarygodności, rozkład Bernoulliego

[inusia146]

Rozważmy rozkład \(\displaystyle{ B(n,p)}\). Wiadomo, że \(\displaystyle{ p=0.3}\) oraz, że w badanej próbce wystąpiły 4 sukcesy. Wyznaczyć \(\displaystyle{ ENW(n)}\).

Prosiłabym o pomoc z funkcją wiarygodności, dalej już dam radę sama.

[janusz47]

\(\displaystyle{ X_{i}, \ \ i=1,2,..., n}\) jest niezależną zmienną losową o rozkładzie Bernoullego :

\(\displaystyle{ f(x_{i}, p) = p^{x_{i}}(1- p)^{1 -x_{i}}}\) dla \(\displaystyle{ x_{i}\in\{0,1\}, \ \ 0< p < 1.}\)

Z definicji funkcji największej wiarygodności:

\(\displaystyle{ L(p) = \prod_{i=1}^{n}f(x_{i},p) = p^{x_{1}}(1- p)^{1-x_{1}}\cdot ... \cdot p^{x_{n}}(1- p)^{1- x_{n}}.}\)

Z własności działań na potęgach

\(\displaystyle{ L(p) = p^{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}(1- p) ^{n - \sum_{i=1}^{n}x_{i}}.}\)

Logarytm naturalny funkcji wiarygodności

\(\displaystyle{ \ln( L(p)) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} \ln(p) + ( n - \sum_{i=1}^{n}x_{i})\ln(1- p).}\)


Pochodna I rzędu logarytmu funkcji wiarygodności

\(\displaystyle{ [\ln( L(p))]' = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{p} - \frac{n - \sum_{i=1}^{n}x_{i}}{1- p}\equiv 0}\) (1)

Mnożymy równanie (1) obustronnie przez \(\displaystyle{ p(1-p)}\)

\(\displaystyle{ (1-p)\sum_{i=1}^{n}x_{i} - p (n - \sum_{i=1}^{n} x_{i}) = 0}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} x_{i} - p\sum_{i=1}^{n} x_{i} - np + p\sum_{i=1}^{n}x_{i} = 0.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ {p^{*} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{n}.}\)

Proszę sprawdzić, że dla \(\displaystyle{ p^{*}}\) logarytm naturalny funkcji wiarygodności, tym samym funkcja wiarygodności osiąga maksimum lokalne.

Alternatywnie otrzymujemy postać estymatora największej wiarygodności ENW dla zmiennych losowych o rozkładzie Bernoullego w postaci:

\(\displaystyle{ \hat{p} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n}.}\)

[inusia146]

Dobrze, ale jak tutaj "wsadzić" fakt, że odnotowano 4 sukcesy?

[janusz47]

Podstawiamy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}x_{i} = 4.}\)