Funkcje prawdopodobienstwa

[Mily102]

Niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają jednakowe funkcje prawdopodobieństwa:

\(\displaystyle{ \begin{array}{|r|r|c|c|}
\hline
x_i & 0 & 1 &2 \\
p_i & \frac13 & \frac13 & \frac13 \\ \hline
\end{array}}\)

Niech \(\displaystyle{ u_1=X+Y,\:u_2=2X,\:u_3=XY,\:u_4=X \cdot X}\) .

Wyznacz ich funkcje prawdopodobieństwa.

Ma ktoś pomysł.

[merowing3]

Ten problem jest źle (nieściśle sformułowany). Zmienne losowe mają (albo lepiej: przyjmują) wartości z jednakowym prawdopodobieństwem równym \(\displaystyle{ p_{i}=1/3}\). Tutaj powinny być dwie tabele:
1. Tabela rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) (podałeś ją, gdzie \(\displaystyle{ x_{i}}\) oznacza wartość zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)).
2. Tabela rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\)(wygląda tak samo, tylko tutaj mamy wartości \(\displaystyle{ y _{i}}\)).
Twoim zadaniem jest obliczenie prawdopodobieństwa (zgodnie z definicją klasyczną) zdarzeń losowych: \(\displaystyle{ U _{1}}\), \(\displaystyle{ U_{2}}\), \(\displaystyle{ U_{3}}\) oraz \(\displaystyle{ U_{4}}\), takich że:
\(\displaystyle{ U _{1}=X+Y}\)
\(\displaystyle{ U _{2}=2X}\)
\(\displaystyle{ U _{3}=XY}\)
\(\displaystyle{ U _{4}=XX}\)
Każdy z tych przypadków zawiera trzy zdarzenia elementarne (dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) są to zdarzenia \(\displaystyle{ x_{1}}\), \(\displaystyle{ x_{2}}\) i \(\displaystyle{ x_{3}}\), analogicznie dla zmiennej losowej Y). W związku z tym, że wszystkie zdarzenie elementarne mogą zajść z tym samym prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p_{i}=1/3}\) autor zadania użył skrótu myślowego (nieładnie).
Zdarzenia losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne, czyli zajście jednego z nich nie zmienia prawdopodobieństwa zajścia drugiego. W tym przypadku mówimy o tzw. prawdopodobieństwie warunkowym, dla którego spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ P(X \cap Y)=P(X)P(Y)}\) - prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń losowych niezależnych jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń.
Liczmy:
1.
\(\displaystyle{ P(U _{1})=P(X)+P(Y)-P(X \cap Y)=1/3+1/3-1/9=2/3-1/9=6/9-1/9=5/9}\)
2.
\(\displaystyle{ P(U _{2})=2 \cdot P(X)=2 \cdot 1/3=2/3}\)
3.
\(\displaystyle{ P(U _{3})=P(X) \cdot P(Y)=1/3 \cdot 1/3=1/9}\)
4.
\(\displaystyle{ P(U _{4})=P(X) \cdot P(X)=1/3 \cdot 1/3=1/9}\)

[leg14]

merowing3,

en problem jest źle (nieściśle sformułowany)

Nieprawda.

Chopie, \(\displaystyle{ U_1.U_2,U_3,U_4}\) to są zmienne losowe! Zapis \(\displaystyle{ \PP(U_i)}\) nie ma sensu