Metodą największej wiarygodności na podstawie n-elementowej próby prostej \(\displaystyle{ X_{1},...,X_{n}}\) wyznaczyć estymator parametru \(\displaystyle{ \lambda}\) rozkładu wykładniczego o gęstości:
\(\displaystyle{ f(x,\lambda)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}\ \ \ x>0 \\ 0 \ \ \ x \le 0 \end{cases}}\)
Metoda największej wiarygodności.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Metoda największej wiarygodności.
To jest bardzo znane zadanie, jak się zdaje wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{\overline X}=\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i \right) ^{-1}}\)
Funkcja wiarygodności:
\(\displaystyle{ L(\lambda)=\lambda^n\exp\left(-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i\right) \prod_{i=1}^{n}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x_i)}\)
Logarytm funkcji wiarygodności (w obrębie nośnika rozkładu):
\(\displaystyle{ l(\lambda)=n \ln \lambda-\lambda \sum_{i=1}^{n}x_i}\)
Różniczkujemy to po \(\displaystyle{ \lambda}\) i przyrównujemy do zera:
\(\displaystyle{ l'(\lambda)=0 \Leftrightarrow \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n}x_i=0 \Leftrightarrow \lambda=\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \right)^{-1}}\)
i bądź to wnioskujemy z odpowiednich warunków regularności, że w tym punkcie faktycznie jest maksimum (była taka krótka lista tych warunków), bądź też sprawdzamy znak drugiej pochodnej (wychodzi ujemny, czyli tak jak ma być).
Funkcja wiarygodności:
\(\displaystyle{ L(\lambda)=\lambda^n\exp\left(-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i\right) \prod_{i=1}^{n}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{(0,+\infty)}(x_i)}\)
Logarytm funkcji wiarygodności (w obrębie nośnika rozkładu):
\(\displaystyle{ l(\lambda)=n \ln \lambda-\lambda \sum_{i=1}^{n}x_i}\)
Różniczkujemy to po \(\displaystyle{ \lambda}\) i przyrównujemy do zera:
\(\displaystyle{ l'(\lambda)=0 \Leftrightarrow \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n}x_i=0 \Leftrightarrow \lambda=\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \right)^{-1}}\)
i bądź to wnioskujemy z odpowiednich warunków regularności, że w tym punkcie faktycznie jest maksimum (była taka krótka lista tych warunków), bądź też sprawdzamy znak drugiej pochodnej (wychodzi ujemny, czyli tak jak ma być).