Statystyka bayesowska, rozmiar testu

[matematyk888]

Cześć, mam problem z poniższym zadaniem. Konkretnie umiem wyznaczyć obszar krytyczny, ale mam wątpliwości jak policzyć rozmiar testu:

Niech \(\displaystyle{ X _{1}, X _{2}, X _{3}, X _{4}}\) będzie próbą z rozkładu jednostajnego o gęstości

\(\displaystyle{ f_{\theta}(x) = \frac{1}{\theta}}\) , gdy \(\displaystyle{ x \in (0;\theta)}\)

Zakładamy, że nieznany parametr \(\displaystyle{ \theta}\) jest zmienną losową o rozkładzie z funkcją gęstości daną wzorem \(\displaystyle{ \pi (\theta) = \frac{4}{3}\theta ^{4} e ^{-2 \theta}}\), gdy \(\displaystyle{ \theta > 0}\).
Hipotezę \(\displaystyle{ H _{0}: \theta \le 3}\) przy alternatywie \(\displaystyle{ H _{1}: \theta > 3}\) odrzucamy dla tych wartości \(\displaystyle{ (x _{1}, x _{2}, x _{3}, x _{4})}\), dla których prawdopodobieństwo a posteriori zbioru \(\displaystyle{ {\theta:\theta > 3}}\) jest większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

Jaki jest rozmiar tego testu.

Jak już wspomniałem, obszar krytyczny to \(\displaystyle{ \left\{ K: x _{4:4} > 3 - \frac{\ln (2)}{2}\right\}}\)

Prawidłowa odpowiedź to \(\displaystyle{ 0,388}\).

Mam wątpliwości co do tego jak wyznaczyć rozkład bezwarunkowy \(\displaystyle{ x _{4:4}}\).
Z góry wielkie dzięki.