Rozkład normalny

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
wczymrzecz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 lis 2017, o 22:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: xxxx
Podziękował: 10 razy

Rozkład normalny

Post autor: wczymrzecz »

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) niezależne zmienne o rozkładach normalnych \(\displaystyle{ X}\)~\(\displaystyle{ N(2,6)}\) i \(\displaystyle{ Y}\)~\(\displaystyle{ N(-5,7)}\) . Umiem policzyć zwykłe \(\displaystyle{ P(X>0)}\) czy \(\displaystyle{ P(Y<4)}\) ale nie wiem jak policzyć:
5a) \(\displaystyle{ E(3X-4Y)= ?}\)
w rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ E(X)=m}\) to wzięłam \(\displaystyle{ m}\) z rozkładu \(\displaystyle{ X}\) i rozkładu \(\displaystyle{ Y}\)
\(\displaystyle{ E(3X-4Y) = 3*2-4*(-5) = 26}\) czy dobrze?

b)\(\displaystyle{ P(0<X<4,5) = P (X>0) + P(X<4,5)}\)
\(\displaystyle{ P(\frac{X-2}{6}>\frac{0-2}{6}) = P(u>(-\frac{1}{6}))= 1-\phi(-\frac{1}{6})= 1-(1-\phi(\frac{1}{6})) = \phi(\frac{1}{6}) = 0,6293}\)
\(\displaystyle{ }\)
podobnie zrobiłam\(\displaystyle{ P(X<4,5)}\) i wyszło mi równe \(\displaystyle{ 0,6591}\)
jak zsumowałam to wyszło mi \(\displaystyle{ 1,2884}\) i nie mam takiej odpowiedzi.

c)\(\displaystyle{ P(X>Y+6)=}\)
d)\(\displaystyle{ P(X-2Y=7) =}\)
e) \(\displaystyle{ P(-6<X+Y<4)=}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Rozkład normalny

Post autor: janusz47 »

Jeśli zmienne losowe:

\(\displaystyle{ X \sim N(m_{X}, \sigma_{X}),\ \ Y \sim N(m_{Y}, \sigma_{Y}),}\)

to zmienna losowa \(\displaystyle{ X+Y}\) ma rozkład normalny:

\(\displaystyle{ N( m_{X}+m_{Y}, \sqrt{\sima^2_{X}+\sigma^2_{Y}}).}\)

Jeżeli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(m, \sigma),}\) to zmienna losowa:

\(\displaystyle{ Y = aX +b, \ \ ( a, b \in \RR, a\neq 0)}\) ma rozkład:

\(\displaystyle{ N( a\cdot m + b, |a|\cdot \sigma).}\)


Jeśli funkcja \(\displaystyle{ F}\) jest dystrybuantą zmiennej losowej \(\displaystyle{ X,}\)

to

\(\displaystyle{ Pr(\{ a \leq X < b\}) = F(b) - F(a), \ \ a < b.}\)

Proszę poprawić rozwiązanie zadania.
wczymrzecz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 lis 2017, o 22:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: xxxx
Podziękował: 10 razy

Rozkład normalny

Post autor: wczymrzecz »

a) Skorzystałam z własności wartości oczekiwanej:
\(\displaystyle{ E(X-Y)=E(X)-E(Y)}\)
\(\displaystyle{ E(3X)-E(4Y) = 3*2- 4*(-5) = 26}\)

b) poprawiłam wyszło mi 0,2884 jest ok (\(\displaystyle{ \phi (0,416)-\phi(-0,333) = 0,6591-(1-0,6293)}\)
c)d)e) nie wiem jak zacząć
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Rozkład normalny

Post autor: janusz47 »

c)

\(\displaystyle{ Pr(\{ X-Y >6\}) = 1 - Pr(X-Y \leq 6\}) = 1 - F(6),}\)

określamy najpierw rozkład ma zmienna losowej \(\displaystyle{ X - Y.}\)

d)

\(\displaystyle{ Pr(\{X -2Y = 7\}),}\)

określamy najpierw rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X -2Y}\)

e)

\(\displaystyle{ Pr(\{ -6 < X +Y < 4\}) = Pr( \{Z< 4\}) - Pr(\{Z<-6\}) = F(4) - F(-6),}\)

określamy najpierw rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = X+Y.}\)
wczymrzecz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 lis 2017, o 22:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: xxxx
Podziękował: 10 razy

Rozkład normalny

Post autor: wczymrzecz »

e) rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Z= X+Y}\)
\(\displaystyle{ N(2-5, \sqrt{6^{2}+7^{2}}) = N(-3, \sqrt{85})}\)

c)rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Z=X-Y}\)
z jakiego wzoru korzystam?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Rozkład normalny

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ N(2 +5, \sqrt{6^2 +7^2}) = N( 7, \sqrt{85}).}\)
wczymrzecz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 lis 2017, o 22:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: xxxx
Podziękował: 10 razy

Rozkład normalny

Post autor: wczymrzecz »

tylko, że rozkład \(\displaystyle{ Y}\), to \(\displaystyle{ N(-5,7)}\), to dlaczego dodaję \(\displaystyle{ 5}\)?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Rozkład normalny

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ X- Y = X +(-Y) = 2 +(-(-5))= 2 +5 = 7.}\)
wczymrzecz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 lis 2017, o 22:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: xxxx
Podziękował: 10 razy

Rozkład normalny

Post autor: wczymrzecz »

Ok, bo ja poprzednie pisałam do podpunktu e) dlatego wyszło mi -3-- 12 lut 2018, o 13:57 --nawiązując do podpunktu d)
\(\displaystyle{ P(X-2Y)=7}\)
rozkład \(\displaystyle{ X-2Y}\)
\(\displaystyle{ N(2+2*(-(-5)), \sqrt{6^2+2*7^{2}} )}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Rozkład normalny

Post autor: janusz47 »

Tak jest!
wczymrzecz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 lis 2017, o 22:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: xxxx
Podziękował: 10 razy

Rozkład normalny

Post autor: wczymrzecz »

a czy nie czasem
\(\displaystyle{ N(...., \sqrt{6^{2} + (2*7)^{2}})}\)?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Rozkład normalny

Post autor: janusz47 »

Tak potrzebny nawias ( nie zauważyłem).
wczymrzecz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 19 lis 2017, o 22:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: xxxx
Podziękował: 10 razy

Rozkład normalny

Post autor: wczymrzecz »

czyli w podpunkcie d)
\(\displaystyle{ N(12, \sqrt{232} )}\)
to
\(\displaystyle{ P(X-2Y) = 7}\) co dalej?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Rozkład normalny

Post autor: janusz47 »

Proszę poprawić zapis.

\(\displaystyle{ Pr(\{ X - 2Y = 7\}) = Pr(\{ Z = 7\}) = \frac{1}{2\pi \sqrt{232}} \int_{7}^{7} e^{-\frac{(x - 12)^2}{2\cdot 232}}dx = 0 .}\)

Dla dowolnej zmiennej losowej ciągłej:

\(\displaystyle{ Pr(\{X = a\}) =\int_{a}^{a} f(s)ds = 0.}\)
ODPOWIEDZ