Które zdanie jest fałszywe?

[Montes]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1}\), \(\displaystyle{ X_2}\),...,\(\displaystyle{ X_n}\) są niezależne i mają identyczny rozkład normalny \(\displaystyle{ N(\mu, \sigma^2)}\) ze średnią \(\displaystyle{ \overline{X}}\) i wariancją \(\displaystyle{ S^2}\). Które z poniższych stwierdzeń jest fałszywe i uzasadnij swoją odpowiedź.

1. \(\displaystyle{ \overline{X}\sim N(\mu, \sigma^2/n)}\)

2. \(\displaystyle{ \frac{\overline{X}-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_n}\)

3. \(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\bigg(\frac{(X_i-\mu)}{\sqrt{\sigma^2/n}}\bigg)^2\sim \chi_{n}^2}\)

4. \(\displaystyle{ \overline{X}}\) i \(\displaystyle{ S^2}\) są niezależne.

1 i 4 są na pewno prawdziwe, a 2 i 3 po drobnych przekształceniach wyglądają tak samo jak definicja, także nie wiem co robię źle.

PS. \(\displaystyle{ t_n}\) to u nas rozkład studenta a \(\displaystyle{ \chi^2}\) to rozkład chi kwadrat.

[Premislav]

1. Tak, wystarczy skorzystać z własności rozkładu normalnego albo je sobie wyprowadzić np. z użyciem funkcji charakterystycznych.
2. To też wygląda OK (ewentualnie zależy jak definiujesz wariancję z próby, z \(\displaystyle{ n}\) czy \(\displaystyle{ n-1}\)).
3. To jest nieprawda, rozkład chi kwadrat jest skupiony na nieujemnych, a taka suma z dodatnim prawdopodobieństwem przyjmowałaby wartości ujemne.
4. Tak, wynika to z twierdzenia Fishera.

[Montes]

Co do 3 to mój błąd, zapomniałem dać wszystko w nawias i do kwadratu. Taka suma nadal jest nieprawdziwa? Co do 2, to wariancję definiujemy tak \(\displaystyle{ S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2}\)

[Premislav]

Jak suma może być nieprawdziwa? Suma jest operacją (algebraiczną czy teoriomnogościową, czy jeszcze inną, to już zależy od kontekstu), a nie zdaniem/stwierdzeniem/własnością/hipotezą itd.

W takim razie pewnie nie zgadza się liczba stopni swobody w podpunkcie drugim, jak się zdaje takie coś powinno mieć rozkład t-Studenta z \(\displaystyle{ n-1}\) stopniami swobody.